\(a^n = \sum_{x=1}^a f(x)\)
Op zich leuk, maar het is natuurlijk nog leuker als je het even toe kunt passen.Een ideale kandidaat op dit gebied is de formule van de laatste stelling van Fermat.
Lekker simpel en toch veel machten.
Laten we eens kijken wat dat dan wordt
(F)
\(a^n + b^n = c^n \)
Voor de handigheid stellen we eerst(0)
\(a < b < c \)
De functie voor de waarden van de verschillen noemen we \(f(x)\)
(1) \(a^n = \sum_{x=1}^a f(x)\)
(2) \(b^n = \sum_{x=1}^b f(x)\)
(3) \(c^n = \sum_{x=1}^c f(x)\)
Aangezien (0) stelt dat a < b kunnen we (2) ook anders gaan schrijven(4)
\(b^n = \sum_{x=1}^a f(x) + \sum_{x=a+1}^b f(x)\)
Volgens dezelfde (0) kunnen we (3) ook aan gaan pakken(5)
\(c^n = \sum_{x=1}^b f(x) + \sum_{x=b+1}^c f(x)\)
Nu (2) en (4) hierop toepassen geeft(6)
\(c^n = \sum_{x=1}^a f(x) + \sum_{x=a+1}^b f(x) + \sum_{x=b+1}^c f(x)\)
Als we nu volgens (1), (4) en (6) de formule (F) gaan herschrijven, zien we dat (4) aan beide zijden voorkomt. Die kan dus worden verwijderd. Blijft over(7)
\(\sum_{x=1}^a f(x) = \sum_{x=b+1}^c f(x)\)
(8) \(\sum_{x=1}^a f(x) - \sum_{x=b+1}^c f(x) = 0\)
Als je de oorspronkelijke macht graag terug ziet, dan zou je ook nog het volgende kunnen maken(9)
\(a^n - \sum_{x=b+1}^c f(x) = 0\)
Nu komt de waarde van de functie
\(f(x)\)
weer in beeld<table class="bbc" cellpadding="0" cellspacing ="0" border="{option}">
[tr][td]Macht n[/td][td]Functie f(x)[/td][/tr]
[tr][td]2[/td][td]
\(2x - 1\)
[/td][/tr][tr][td]3[/td][td]
\(3x^2 - 3x - 1\)
[/td][/tr][tr][td]4[/td][td]
\(4x^3 - 6x^2 + 4x - 1\)
[/td][/tr][tr][td].[/td][td].[/td][/tr]
[tr][td]n[/td][td]etc[/td][/tr]
</table>
Morzon heeft onder het vorige stukje uitgelegd hoe functies voor hogere machten te bepalen.
Door deze tabel te combineren met (0) en (8) krijg je een andere kijk op deze stelling.
Ik tenminste wel.
Bij de 2e macht geeft de lineaire functie
\(2x - 1\)
al een idee van mogelijke oplossingen. Daarna krijgen de functies een exponentieel karakter, wat het waarom van de grens al iets onderbouwd. Maar goed, om dit echt te bewijzen waren geloof ik 200 bladzijden nodig 
Ik hoop dat ik de formules nu goed heb ingegeven, ik doe dit niet elke ook...
Iemand die me nog op foutjes of verbeterpuntjes kan wijzen?
