Springen naar inhoud

gulden snede


  • Log in om te kunnen reageren

#1


  • Gast

Geplaatst op 20 april 2005 - 15:37

Als er een verband is tussen wiskunde en muziek kan je dan ook muziek schrijven gebasseerd op verhoudingen van de fibonacci getallen of gewoon de gulden snede op zich?
Waarom vinden wij die verhoudingen de mooiste trouwens?
Over smaak en keuze valt dus wel te discussieren. Of niet?
En waarom zijn er zoveel verwijzingen van de Fibonacci getallen naar de natuur?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

OrionSt0rm

    OrionSt0rm


  • >25 berichten
  • 34 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 28 april 2005 - 10:50

Als er een verband is tussen wiskunde en muziek kan je dan ook muziek schrijven gebasseerd op verhoudingen van de fibonacci getallen of gewoon de gulden snede op zich?
Waarom vinden wij die verhoudingen de mooiste trouwens?
Over smaak en keuze valt dus wel te discussieren. Of niet?
En waarom zijn er zoveel verwijzingen van de Fibonacci getallen naar de natuur?


ken je de reeks van Fibonacci?

Alle getallen van de fibonacci reeks staan in verhouding tot 1.618 (de gulden snede)

gulden snede = Fib(n+1) / Fib(n)

het 100e fibonacci nummer delen door het 101e fibonacci nummer = gulden snede

hoe bereken je dan de fibonacci nummers?
Fib(n+2)=Fib(n)+Fib(n+1)

zoek maar eens op google: fibonacci nummers, of 1.618 :shock:

#3

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 28 april 2005 - 10:55

ken je de reeks van Fibonacci?

Alle getallen van de fibonacci reeks staan in verhouding tot 1.618 (de gulden snede)

gulden snede = Fib(n+1) / Fib(n)

het 100e fibonacci nummer delen door het 101e fibonacci nummer = gulden snede

hoe bereken je dan de fibonacci nummers?
Fib(n+2)=Fib(n)+Fib(n+1)

zoek maar eens op google: fibonacci nummers, of 1.618  :shock:

Dit klopt niet helemaal...

Als je de limiet voor n->oneindig neemt dan is Fib(n+1)/Fib(n) gelijk aan de gulden snede, maar dit geldt niet voor 'eender welke' Fibonacci verhouding, dus ook niet Fib(101)/(Fib(100) bvb.

#4

OrionSt0rm

    OrionSt0rm


  • >25 berichten
  • 34 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 28 april 2005 - 10:58

Als je de limiet voor n->oneindig neemt dan is Fib(n+1)/Fib(n) gelijk aan de gulden snede, maar dit geldt niet voor 'eender welke' Fibonacci verhouding, dus ook niet Fib(101)/(Fib(100) bvb.


reken maar eens het 100e fibonacci nummer uit en het 101e fibonacci nummer en deel ze door elkaar

daar krijg je toch echt wel de gulden snede uit hoor.
sterker nog, hoe groter het fibonacci nummer, hoe exacter phi wordt

#5

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 28 april 2005 - 11:14

reken maar eens het 100e fibonacci nummer uit en het 101e fibonacci nummer en deel ze door elkaar

daar krijg je toch echt wel de gulden snede uit hoor.
sterker nog, hoe groter het fibonacci nummer, hoe exacter phi wordt

Nu zeg je het eigenlijk zelf :shock:

Volgens jou wordt het 'exacter', dus was het eerst niet precies phi.
Phi is ook niet 1.618 natuurlijk - dat is maar een benadering.
Phi = (1+sqrt5)/2 en dan krijg je alleen als je de limiet van de fibonacci-rij neemt, en niet zomaar een willekeurige verhouding.
Fib(101)/Fib(100) is zéker niet gelijk aan de gulden snede, al is het inderdaad wel zo dat het door die verhouding benaderd wordt: hoe verder, hoe beter.

#6

OrionSt0rm

    OrionSt0rm


  • >25 berichten
  • 34 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 28 april 2005 - 12:53

http://www.mcs.surre...i/fibtable.html
hier is een hele mooie site met de eerste 300 fibonacci nummers.
typ het 101e op je rekenmachine in, druk het 'delen door' teken in en typ het 100e in. druk op ' = ' je zal uitvinden, dat dit antwoordt gelijk is aan de gulden snede. probeer dit ook eens met het 300e en 299e fibonacci getal. de gulden snede blijft eruit komen. de getallen in de fibonacci reeks staan namelijk in verhouding van de gulden snede. Fib(n+1) = gulden snede * Fib(n). (hoe groter de getallen, hoe precieser de getallen worden. als je het eerste fibonacci nummer neemt, 0 * gulden snede= 0, nee dat klopt natuurlijk niet)

-sin(666)*2 = ((wortel 5)+1)/2 = Fib(n+1)/Fib(n)

:shock:

of bestaan er nog andere gulden snedes?

#7

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 28 april 2005 - 13:07

Er is ook een 'directe' formule voor Fib(n):

Geplaatste afbeelding

Fib(n+1)/Fib(n) is inderdaad een benadering voor ;), d.w.z. limn[pijltje]:shock:Fib(n+1)/Fib(n) = (1+[wortel]5)/2
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#8

OrionSt0rm

    OrionSt0rm


  • >25 berichten
  • 34 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 28 april 2005 - 13:53

hoe zou jij dan de gulden snede defineren?
gulden snede = 1.618 ?
gulden snede = ((wortel 5)+1)/2 ?

dan zijn alle andere getallen slechts benaderingen. maar afgerond zijn ze allemaal hetzelfde. namelijk de gulden snede. de ene wat presizer dan de andere.

#9

Math

    Math


  • >1k berichten
  • 1460 berichten
  • VIP

Geplaatst op 28 april 2005 - 14:00

hoe zou jij dan de gulden snede defineren?
gulden snede = 1.618   ?
gulden snede = ((wortel 5)+1)/2   ?

dan zijn alle andere getallen slechts benaderingen. maar afgerond zijn ze allemaal hetzelfde. namelijk de gulden snede. de ene wat presizer dan de andere.


Maar zó werken we niet in de wiskunde! We willen het meest precieze antwoord. Bij het geval van de gulden snede zijn dat er meerdere, maar zeker niet de methode van delen van twee opeenvolgende fib.getallen. Maak je daar een limiet-functie van dan klopt het uiteraard wel weer, als je begrijpt wat ik bedoel. De limiet is overigens al vaker genoemd hierboven.

Het antwoord op jouw hierboven gestelde vraag zou dan zijn: gulden snede = ((wortel 5)+1)/2
<i>Iets heel precies uitleggen roept meestal extra vragen op</i>

#10

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 28 april 2005 - 14:01

hoe zou jij dan de gulden snede defineren?
gulden snede = 1.618   ?
gulden snede = ((wortel 5)+1)/2   ?

Die tweede natuurlijk, dat is de enige juiste.

Dat je hem als 1.618 kunt benaderen klopt, maar voor de definitie kun je alleen met de exacte waarde volstaan, en dat is (1+[wortel]5)/2.

Net zo definieer je :shock: ook niet als "ongeveer 3.14".
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#11

Math

    Math


  • >1k berichten
  • 1460 berichten
  • VIP

Geplaatst op 28 april 2005 - 14:02

Net zo definieer je :shock: ook niet als "ongeveer 3.14".


Precies, dat bedoel ik. Goede vergelijking Rogier :wink: .
<i>Iets heel precies uitleggen roept meestal extra vragen op</i>

#12

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 28 april 2005 - 15:59

typ het 101e op je rekenmachine in, druk het 'delen door' teken in en typ het 100e in. druk op ' = ' je zal uitvinden, dat dit antwoordt gelijk is aan de gulden snede. [...]
of bestaan er nog andere gulden snedes?

Dat is opnieuw fout, om de eerder genoemde redenen.
Het tweede klopt ook niet, de gulden snede is eenduidig gedefinieerd zoals hierboven al meermaals gezegd, als (1+sqrt5)/2.
Elke verhouding van 2 opeenvolgende Fib-getallen is daar slechts een benadering van, de limiet is er echter aan gelijk.

#13


  • Gast

Geplaatst op 23 mei 2005 - 07:46

Er is ook een 'directe' formule voor Fib(n):

Geplaatste afbeelding

Fib(n+1)/Fib(n) is inderdaad een benadering voor :shock:, d.w.z. limn[pijltje] ;)Fib(n+1)/Fib(n) = (1+[wortel]5)/2


Volgens mij is er een directe forule voor de rij van Fibonacci die als volgt luidt:

Un= ((p)^n-(p')^n)/(WORTEL(5))
p=0,5+0,5*WORTEL(5)
p'=0,5-0,5*WORTEL(5)

p en p' zijn de oplossingen van:

x^2=x-1

Deze formule word ook wel de formule van Binet genoemd (geloof ik). Je kunt hem bewijzen door het volgende verder uit te werken:

p^2=p+1
p^3=p^2+p=2p+1
p^4=P^3+p^2=3p+2
p^5=p^4+p^3=5p+3
p^n=Un*p+Un-1
...
voor p' geldt ool:
p'^n=Un*p'+Un-1

p^n-p'^n=Un*p+Un*p'
p^n-p'^n=Un*(p'+p)


Un=p^n-p'^n/(p'+p)
p'+p=WORTEL(5)


:?: PS: de p staat voor de griekse letter phi en p' voor de afgelijde hiervan, ik heb zelf geen idee hoe een getal een afgeleide kan hebben maar het is kennelijk wel zo. :?:

#14


  • Gast

Geplaatst op 30 mei 2005 - 17:30

Er is ook een 'directe' formule voor Fib(n):

Geplaatste afbeelding

Fib(n+1)/Fib(n) is inderdaad een benadering voor :?:, d.w.z. limn[pijltje] :shock:Fib(n+1)/Fib(n) = (1+[wortel]5)/2


Volgens mij is er een directe forule voor de rij van Fibonacci die als volgt luidt:

Un= ((p)^n-(p')^n)/(WORTEL(5))
p=0,5+0,5*WORTEL(5)
p'=0,5-0,5*WORTEL(5)

p en p' zijn de oplossingen van:

x^2=x-1

Deze formule word ook wel de formule van Binet genoemd (geloof ik). Je kunt hem bewijzen door het volgende verder uit te werken:

p^2=p+1
p^3=p^2+p=2p+1
p^4=P^3+p^2=3p+2
p^5=p^4+p^3=5p+3
p^n=Un*p+Un-1
...
voor p' geldt ool:
p'^n=Un*p'+Un-1

p^n-p'^n=Un*p+Un*p'
p^n-p'^n=Un*(p'+p)


Un=p^n-p'^n/(p'+p)
p'+p=WORTEL(5)

;) PS: de p staat voor de griekse letter phi en p' voor de afgelijde hiervan, ik heb zelf geen idee hoe een getal een afgeleide kan hebben maar het is kennelijk wel zo. :?:


Wat ik in jullie reacties mis is, dat het getal phi - het getal van de Gulden Snede - een irrationeel getal is, en dat houdt in dat dit getal op geen enkele manier is te schrijven als een breuk van twee gehele getallen.
Deel je twee opeenvolgende Fibonacci-getallen op elkaar, dan benadert deze breuk weliswaar het getal phi, en bovendien neemt de fout hierin af naarmate je grotere Fibonacci-getallen neemt.

Iets anders is, dat irrationele getallen per definitie niet correct kunnen worden weergegeven op computers of rekenmachines, omdat deze getallen altijd afronden op een zeker aantal decimalen of bits, en feitelijk krijg je dan namelijk vanzelf rationele getallen. Een irrationeel getal bestaat uit een oneindig aantal decimalen, welk talstelsel je ook zou nemen.

Hans

#15

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 30 mei 2005 - 17:49

Dat het irrationeel is had ik persoonlijk niet vermeld, maar "Deel je twee opeenvolgende Fibonacci-getallen op elkaar, dan benadert deze breuk weliswaar het getal phi, en bovendien neemt de fout hierin af naarmate je grotere Fibonacci-getallen neemt. " heb je toch niet hoeven te missen, als je mijn posts las.

Overigens is het in de limiet wel zo, zie mijn eerdere replies.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures