Linear operator

Moderators: dirkwb, Xilvo

Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
Reageer

Bericht 13-09-'08, 18:29

NvdB

Berichten: 40

Linear operator

Ik had een vraag m.b.t een linear operator.. de definitie ervan is als volgt:

L(c1u1 + c2u2) = c1L(u1) + c2L(u2)

Nu vroeg ik me af, hoe toon je aan dat dit:

L(u) = d/dx [ K(x)*(du/dx) ] ; wel een linear operator is

maar dit

L(u) = d/dx [ K(x,u)*(du/dx) ] ; geen linear operator is?

Ik zit hier al werkelijk een poos naar te kijken, maar zie steeds niet waar t naar toe moet:P

Zou iemand me kunnen helpen en wat uitleg verschaffen?

Vriendelijke groet,

NvdB
Omhoog

Bericht 13-09-'08, 18:37

dirkwb

Berichten: 4.246

Re: Linear operator

NvdB schreef:Nu vroeg ik me af, hoe toon je aan dat dit:

L(u) = d/dx [ K(x)*(du/dx) ] ; wel een linear operator is
Uitwerken.
NvdB schreef:maar dit

L(u) = d/dx [ K(x,u)*(du/dx) ] ; geen linear operator is?
Door bij het uitwerken rekening te houden met de kettingregel.
Quitters never win and winners never quit.
Omhoog

Bericht 20-09-'08, 10:21

NvdB

Berichten: 40

Re: Linear operator

hm oke, sorry voor het late antwoord!

maar ik heb het dus proberen uit te schrijven, en dan kom ik bij het eerste geval (dat wel een linear operator moet zijn) tot:

[dK0/dx*du/dx + K0*d^2u/dx^2] * [c1u1+c2u2] == c1*[dK0/dx * du1/dx + K0 *d^2u1/dx^2] + c2*[dK0/dx *du2/dx + K0 *d^2u2/dx^2 ]

dit zou gelijk moeten zijn, maar hoe bewijs ik dit nu precies? Ik vraag me echt af ik de goede weg bewandel....

MvG NvdB
Omhoog

Bericht 20-09-'08, 10:39

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Linear operator

Ik zal je de lineariteit van de eerste tonen, dan probeer jij de tweede.

Ik noteer voor het gemak: K voor K(x), cu+dv als lineaire combinatie met u = u(x) en v = v(x), accent voor afgeleide naar x.
\(L\left( u \right) = \left( {Ku'} \right)^\prime = K'u' + Ku''\)
\(L\left( {cu + dv} \right) = \left( {K\left( {cu + dv} \right)^\prime } \right)^\prime = K'\left( {cu + dv} \right)^\prime + K\left( {cu + dv} \right)^{\prime \prime }\)
\( = K'\left( {cu' + dv'} \right) + K\left( {cu'' + dv''} \right) = c\left( {K'u' + Ku''} \right) + d\left( {K'v' + Kv''} \right)\)
\( = c\left( {Ku'} \right)^\prime + d\left( {Kv'} \right)^\prime = cL\left( u \right) + dL\left( v \right)\)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog
Reageer

Terug naar “Wiskunde”