Moderators: dirkwb , Xilvo
Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de
Huiswerkbijsluiter
Berichten: 7.556
Let
\(G\)
be a group and
\(x\in G\)
. Show that
\(x^n x^m=x^mx^n=x^{n+m}\)
and that
\((x^n)^m=x^{nm}\)
Het assiociativiteitsaxioma stelt: (xy)z=x(yz) voor alle x,y,z in G. Het is dus makkelijk in te zien dat x^n*x^m=x^m*x^n. Maar hoe bewijs ik dit? Ik dacht: assiociativiteit levert (xx)x=x(xx), dus
\(x^2x=xx^2\)
. Maar hoe ga ik nu verder?
Never express yourself more clearly than you think.
Berichten: 7.556
Nog zo'n (althans op het eerste gezicht) simpel vraagstukje:
Laat zien dat als
\(g^2=e\forall g\in G\)
, dan is G abels.
Ik begon zo: aa=e en bb=e. Hieruit volgt a
-1 =a en b
-1 =b.
We willen uitkomen op ab=ba, want in dat geval is G abels.
ab=a
-1 b
-1 =(ba)
-1 ...
Iemand die me helpt?
Never express yourself more clearly than you think.
Berichten: 582
\(x^n x^m = x^n \left( x \underbrace{x x ... x}_{m-1} \right) =\left( x^n x \right) \underbrace{x x ... x}_{m-1} = x^{n+1} \left( x \underbrace{x ... x}_{m-2} \right)= ... = x^{m+n}\)
Op dito wijze kan je aantonen dat
\(x^m x^n = x^{m+n}\)
en dus dat beide aan elkaar gelijk zijn.
Berichten: 7.556
Op dito wijze kan je aantonen dat
\(x^m x^n = x^{m+n}\)
en dus dat beide aan elkaar gelijk zijn.
Thanks; net iets minder triviaal dan ik vermoedde, maar wel duidelijk!
Never express yourself more clearly than you think.
Berichten: 582
Het zou kunnen dat het 'makkelijker' kan. Het is al een tijdje geleden dat ik dit bestudeerde
.
2de post:
Veronderstel
\(a, b \in G\)
.
Er geldt:
\(b b = (b e) b = b e b = b (a a) b = (b a) a b = b a (a b) = e\)
Nu het 'intern' zijn en de uniciteit van de inverse toepassen.
Aangezien
\(a, b \in G\)
geldt dat
\(ab \in G\)
, en dus dat
\((ab)^2=e\)
of m.a.w.
\((ab)^{-1} = ab\)
.
Uniciteit van de inverse stelt
\((ab)^{-1} = ab = ba\)
, want een paar regels hierboven werd aangetoond dat
\((ab)^{-1}=ba\)
is.
Berichten: 7.556
Bedankt voor je antwoord. Ik begrijp één stap niet:
Aangezien
\(a, b \in G\)
geldt dat
\(ab \in G\)
Akkoord
, en dus dat
\((ab)^2=e\)
Hoezo?
Never express yourself more clearly than you think.
Berichten: 582
Hoezo?
Dat is toch de opgave? "Laat zien dat als
\(g^2=e\forall g\in G\)
, ..."
Berichten: 7.556
Maar natuurlijk! Wederom bedankt. Dat is trouwens ook precies hetgeen ik nodig had; mijn, iets eenvoudigere, manier:
uit aa=e en bb=e volgt a
-1 =a en b
-1 =b.
Bekijk abab=e (de 'aha'-stap van zojuist).
abab=e
aba=b
-1 =b
ab=ba
-1 =ba
Never express yourself more clearly than you think.
Berichten: 582
Phys schreef: Maar natuurlijk! Wederom bedankt. Dat is trouwens ook precies hetgeen ik nodig had; mijn, iets eenvoudigere, manier:
uit aa=e en bb=e volgt a
-1 =a en b
-1 =b.
Bekijk abab=e (de 'aha'-stap van zojuist).
abab=e
aba=b
-1 =b
ab=ba
-1 =ba
Geen probleem! Lijkt inderdaad iets eenvoudiger; het was al een tijdje geleden dat ik dit bestudeerde, en dat was het eerste wat ik kon bedenken
.
.
.