Kgv en ggd

Phys

Even iets simpels waar ik niet uit kom.

Beschouw het kleinste gemene veelvoud m=kgv(a,b) van twee getallen a,b. Uiteraard geldt a|m en b|m.

Bewijs dat voor een c met a|c en b|c (dus een gemeen veelvoud van a en b maar niet - per se - het kleinste), dan geldt m|c. Met andere woorden: bewijs dat het kleinste gemene veelvoud een deler is van een willekeurig gemene veelvoud.

Poging tot bewijs:

Er geldt

\(m=\frac{ab}{\mbox{ggd}(a,b)}\)

. Voor c geldt nu

\(c=ax=by\)

voor integers x,y.

Te bewijzen: er geldt c=mk met k een integer.

Indien dit geldt:

\(c=mk\)

dan

\(ax=by=k\frac{ab}{\mbox{ggd}(a,b)}\)

dus

\(k=\frac{x}{b}\mbox{ggd}(a,b)=\frac{y}{a}\mbox{ggd}(a,b)\)

Ik zie echter (nog) niet in hoe ik kan aantonen dat deze k inderdaad een geheel getal is. Wie helpt me?

Heezen

Hehe, volg jij toevallig ook Wat is Wiskunde?

,

Goed, ik had zelf dit bedacht:

We kunnen a en b zo schrijven

a=d*a'

b=d*b'

( d is dus een factor die in beide getallen voorkomt, bijv. als a=6, b=8, dan is d=2)/

We weten dat a en b m deelt, en ook dat a en b c deelt, en m OOK c moet delen.

We kunnen dus zeggen dat :

m=d*a'*b'*f ( Dus deelbaar door a en b)

c=d*a'*b'*g ( Deelbaar door a en b)

Als we willen dat m , c deelt, moet dus g/f=k .

Dit kan alleen ( voor alle integers k) als f=1.

Hmm, ik denk eerlijk gezegd dat het boek iets anders verwacht, maar ik snap niet wat er fout aan is..

Owja:

\(m=\frac{ab}{\mbox{ggd}(a,b)}\)

Wordt pas in een volgende opgave bewezen, dus dit zou je zowiezo niet mogen gebruiken.

Phys

Heezen schreef:We kunnen dus zeggen dat :

m=d*a'*b'*f ( Dus deelbaar door a en b)

c=d*a'*b'*g ( Deelbaar door a en b)

Dit volg ik even niet. Als m deelbaar is door a en b, geldt m=a.f1=d.a'.f1 en m=b.f2=d.b'.f2 (in jouw notatie).

Jij combineert dit tot één vergelijking m=d.a'.b'.f ? Hoe?

\(m=\frac{ab}{\mbox{ggd}(a,b)}\)
Wordt pas in een volgende opgave bewezen, dus dit zou je zowiezo niet mogen gebruiken.

Je moet bewijzen dat er een m is die voldoet aan ....

Als ik een bepaalde m kies en laat zien dat deze voldoet, is het bewijs correct (constructief bewijs).

Heezen

Hmm, kijk;

het is duidelijk dat

m=a'*b'*d*f

( Reken maar na, het is deelbaar door a en door b, en dat waren de eisen die aan m werden gesteld, niet waar?)

deelbaar is door a'*d en ook door b'*d

als je het getal ( a'*d*b') vermenigvuldigt met een ander integer f, blijft het uiteraard deelbaar door a en b.

Wat is hieraan niet te volgen?

Phys

Natuurlijk volg ik wel dat m=a'*b'*d*f zowel deelbaar is door a'.d als door b'.d, maar volgens mij is dat wel een erg specifieke keuze. Als ik zeg "m is deelbaar door 3", kun je wel beweren "m=6k" (want dit is deelbaar door 3), maar dat is een specifiekere keuze dan zeggen "m=3k". Dat laatste is algemeen (3,6,9,12,...), terwijl je met de eerste keuze (6,12,18,24) mogelijkheden over het hoofd ziet c.q. uitsluit (namelijk 3,9,15,...).

Wat ik dus bedoel: is jouw schrijfwijze m=a'*b'*d*f wel algemeen?

dirkwb

Merk op dat ggd(a,b) = ka +bl met k en l gehele getallen.

Stel dat

\(aq_1=c\)

\(bq_2=c\)

\(m= \frac{a b}{ak+bl} \rightarrow m(ka q_1+bl q_1) = ab q_1 \rightarrow m(kc +blq_1) =bc \rightarrow m(k bq_2 +blq_1) =bc\)

ofwel

\( m (kq_2 + lq_1) =c \)

Phys

Ik had zelf inmiddels iets vergelijkbaars gevonden m.b.v. dit en dit

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Kgv en ggd

Kgv en ggd

Re: Kgv en ggd

Re: Kgv en ggd

Re: Kgv en ggd

Re: Kgv en ggd

Re: Kgv en ggd

Re: Kgv en ggd