Springen naar inhoud

Machten en machtswortels


  • Log in om te kunnen reageren

#1

wout86

    wout86


  • 0 - 25 berichten
  • 16 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 14 november 2008 - 10:50

Hallo,

Ik heb een vraagje over machten met rationele exponenten.

Ik heb altijd aangenomen dat LaTeX .
Nu heb ik gemerkt dat dit niet steeds lukt.

In het boek Wiskundige Basisvaardigheden las ik dat dit geldt voor LaTeX en LaTeX .
Maar ik vind niets terug over waneer dit al dan niet geldt voor LaTeX .

Als ik de grafiek laat tekenen van de functie LaTeX bekom ik verschillende resultaten.
Zo bestaat deze grafiek volgens Maple, Grapher of mijn rekenmachine bijvoorbeeld niet voor LaTeX , maar volgens andere rekenmachines wel. IntuÔtief zou ik aannemen dat deze functie wel degelijk voor x<0 bestaat (m en n zijn oneven).
De functie LaTeX †bestaat volgens die software dan weer wel voor LaTeX .

Weet iemand hoe het nu precies zit met LaTeX voor LaTeX en waarom LaTeX zogezegd wel bestaat voor LaTeX ? Wat is nu wiskundig correct?

Groeten,
Wouter

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

StrangeQuark

    StrangeQuark


  • >1k berichten
  • 4160 berichten
  • VIP

Geplaatst op 14 november 2008 - 11:00

Ben je bekend met complexe getallen? Op het moment dat je wortels neemt van een negatief getal krijg je toch een complex getal. Het kan zijn dat de ene software alleen maar reeele waardes wil plotten en de andere daar een oplossing voor vindt.
De tekst in het hierboven geschreven stukje kan fouten bevatten in: argumentatie, grammatica, spelling, stijl, biologische of scheikundige of natuurkundige of wiskundige feiten kennis. Hiervoor bied StrangeQuark bij voorbaat zijn excuses aan.

#3

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 14 november 2008 - 11:12

Wiskundig correct lijkt mij dat LaTeX bestaat (en een reŽle uitkomst heeft) voor alle LaTeX als n oneven is.

Dat sommige software dat niet snapt komt door hoe ze dat intern uitrekenen (met een foutieve check "indien negatief grondtal en gebroken exponent, dan bestaat het niet", of ze vallen terug op een complexe oplossing terwijl er ook een reŽle is).

In Maple kun je de functie die je bedoelt trouwens wel hiermee krijgen: f:=x->abs(x)^(5/3)*sign(x);
Of als m even is: f:=x->(x^m)^(1/n);
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#4

wout86

    wout86


  • 0 - 25 berichten
  • 16 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 14 november 2008 - 11:19

Ik heb reeds over complexe getallen gelezen, maar hier nog geen gebruik van gemaakt.

Dus als ik het goed begrijp bestaat zo'n functie voor een negatief grondtal als n oneven is en je dit dmv. complexe getallen oplost/plot, maar niet als je dit dmv. reŽle getallen oplost/plot?

Bedankt voor de verduidelijking.

#5

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 14 november 2008 - 11:24

Er doet zich het volgende probleem voor:
LaTeX .
Dus zou moeten gelden:
LaTeX .
Nu zou volgens de definitie van Rogier het linker lid wel bestaan en het rechter niet.
Dat is een conflict.
Daarom is voor vele rekentuigen LaTeX niet gedefinieerd voor LaTeX .

LaTeX als LaTeX ťn LaTeX oneven.

#6

StrangeQuark

    StrangeQuark


  • >1k berichten
  • 4160 berichten
  • VIP

Geplaatst op 14 november 2008 - 11:51

Ik heb reeds over complexe getallen gelezen, maar hier nog geen gebruik van gemaakt.


Het complexe getal: LaTeX , dit moet wel want de wortel van 4 is 2 of -2 (2 keer 2=4 en -2 keer -2 = 4) met de reeele getallen krijg je het niet voor elkaar om een getal te vermenigvuldigen met zichzelf om dan een negatief getal te krijgen. Je krijgt dan samengestelde getallen zoals je ook met wortels kan hebben: LaTeX zoiets krijg je dan ook qua regels met complexe getallen, hier heb je altijd een reeel gedeelte en een complex gedeelte: LaTeX

De wortel van bijvoorbeeld -16 kan je dan als volgt berekenen:
LaTeX
De tekst in het hierboven geschreven stukje kan fouten bevatten in: argumentatie, grammatica, spelling, stijl, biologische of scheikundige of natuurkundige of wiskundige feiten kennis. Hiervoor bied StrangeQuark bij voorbaat zijn excuses aan.

#7

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 14 november 2008 - 11:58

Nog even ter verduidelijking:

LaTeX bestaat, maar
LaTeX bestaat niet, want dit is LaTeX .

In Maple worden breuken vereenvoudigd. Dat zou betekenen dat wat eigenlijk niet bestaat ineens wel bestaat. Dat wil men in Maple voorkomen.

#8

StrangeQuark

    StrangeQuark


  • >1k berichten
  • 4160 berichten
  • VIP

Geplaatst op 14 november 2008 - 12:05

Begrijp ik het goed, dat het fout gaat omdat je eerst het m gedeelte uitvoerd (eventueel kwadrateren bij 2/6 of tot de eerste macht doen bij 1/3) en dan het n gedeelte (de zoveelste macht wortel?). Hoe is dit netjes goed te praten? Wat zijn de regels hierover, moet je dus altijd eerst het wortel gedeelte doen en dan eventueel tot een macht verheffen?
De tekst in het hierboven geschreven stukje kan fouten bevatten in: argumentatie, grammatica, spelling, stijl, biologische of scheikundige of natuurkundige of wiskundige feiten kennis. Hiervoor bied StrangeQuark bij voorbaat zijn excuses aan.

#9

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 14 november 2008 - 12:11

In bijzondere gevallen is het inderdaad mogelijk om rationale exponenten van negatieve grondtallen te definiŽren, omdat negatieve getallen wel oneven machtswortels hebben maar geen even machtswortels (in :D).

Men maakt doorgaans de keuze om dit niet voor negatieve grondtallen te definiŽren omdat er dan vervelende zaken optreden, zoals rekenregels die niet altijd meer gelden - hetgeen PeterPan al aanhaalde.

Wat je voorbeeld x1/3 betreft, die functie kan inderdaad bestaan voor x<0 maar je ziet terecht een conflict met de definitie van rationale exponenten zoals die meestal gegeven wordt. Je kan de functie misschien beter LaTeX te noteren, de derdemachtswortel bestaat immers voor elke x. Zo vermijd je het probleem met de definitie van rationale exponenten als die enkel voor positieve grondtallen gegeven is.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#10

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 14 november 2008 - 12:19

Wat zijn de regels hierover, moet je dus altijd eerst het wortel gedeelte doen en dan eventueel tot een macht verheffen?

Voor positieve grondtallen maakt de volgorde niet uit, dat maakt de eigenschap (of in dit geval: definitie!) zo interessant:

LaTeX

Als je echter naar negatieve grondtallen gaat, krijg je zaken zoals:

LaTeX

Als je afspreekt de breuk te vereenvoudigen (ggd(n,m) = 1) en n is oneven, dan werkt het wel nog:

LaTeX

Je kan de definitie die meestal enkel voor a>0 gegeven wordt dus uitbreiden naar negatieve grondtallen, maar met extra voorwaarden op de rationale exponent. Gewoonlijk doet men dat liever niet (men beperkt dus het grondtal zodat de eigenschappen/rekenregels algemeen gelden), vandaar vaak de definitie enkel voor a>0.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#11

StrangeQuark

    StrangeQuark


  • >1k berichten
  • 4160 berichten
  • VIP

Geplaatst op 14 november 2008 - 12:26

Dankjewel, ik wist uiteraard de regels voor het positieve grontal wel en was eigenlijk nog nooit een negatief getal tegengekomen tot een bepaalde rationale exponent. Zelfs in complexe functie theorie was ik het niet tegengekomen. :D
De tekst in het hierboven geschreven stukje kan fouten bevatten in: argumentatie, grammatica, spelling, stijl, biologische of scheikundige of natuurkundige of wiskundige feiten kennis. Hiervoor bied StrangeQuark bij voorbaat zijn excuses aan.

#12

wout86

    wout86


  • 0 - 25 berichten
  • 16 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 14 november 2008 - 12:52

Okť, bedankt voor de verduidelijking.

#13

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 15 november 2008 - 14:41

De discussie over het al dan niet bestaan van negatieve wortels is afgesplitst naar dit topic; de discussie kan daar voortgezet worden.
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures