Omdat het al een tijd geleden is dat ik nog echt bezig was met getaltheorie (en ik geen cursus bij me heb) vraag ik hier naar het bewijs van het volgende. Ik denk dat het niet moeilijk is maar getaltheorie en algebra zit te ver voor mij om het zelf te vinden en iemand die er thuis in is kan het mss aangeven.
Ik wil bewijzen dat de orde van het getal \(2\) in het eindig veld met \(3^n\) elementen (heet dit zo?, met orde bedoel ik de "multiplicatieve orde", ik weet de terminologie niet meer zo goed, hopelijk begrijp je mij) gelijk is aan \(\phi(n)=2\cdot 3^{n-1}\), wat dus het aantal elementen is van de groep van de eenheden waartoe ook 2 behoort, en dus geen kleinere deler ervan, en dit voor elk natuurlijk getal \(n\) niet nul.
De reden is omdat ik nu even bezig was met het bekende 3x+1 probleem en ik denk dat je hiermee dat probleem zou moeten kunnen bewijzen.
Sorry voor de eventueel verwarrende formulering; ik ben hier niet meer zo thuis in.
Laatste berichten
-
23:50
Veeltermfunctie
-
21:53
[wiskunde] Hoe werk ik dit verder uit naar de vorm ln(a + b sqrt(2))? 2
-
21:23
Zeepbeldiameter 1
-
21:03
Sommige fotonen die weg van ons gestuurd worden , kunnen we toch zien
-
16:58
Het woord dat in alle talen bestaat
-
14:21
[wiskunde] Wat gebeurt er in deze herleidingstap? 2
-
14:08
Casus uit de praktijk: positief test THC 38
-
13:07
Afgeleide 36
-
09:15
lorentzfactor moeilijke formule, makkelijk in een cirkel 28
-
09 mei
Aardlek-schakelaar 50
-
09 mei
[wiskunde] Hoe moet ik dit primitiveren? 16
-
09 mei
snelheid 2
-
08 mei
Mechanicaboeken 6
-
08 mei
Python: fout in programma om strings te vergelijken 15
-
08 mei
tijdsduur 9
-
07 mei
[wiskunde] Wat is de afgeleide van ln^2(x)? 2
-
07 mei
Gezocht: de/een naam voor een getallenrij met een cauchyrij als partieelsommenrij 2
-
07 mei
[wiskunde] Waarom MOET het met behulp van de substitutie methode? 1
-
06 mei
is er een 5e dimensie nodig voor gekromde ruimte-tijd? 13
-
06 mei
geen minkowski-ruimte toch? Doe ik dit nou fout? 55
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
Orde in een eindig veld
Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
-
- Berichten: 400
Re: Orde in een eindig veld
Vraag anders gesteld. Zij n een natuurlijk getal niet nul. Er geldt dat
\(2^{\left(2\cdot 3^{n-1}\right)}\equiv 1\text{ mod }3^n\)
. Mijn vraag is om aan te tonen dat er geen lagere macht k groter dan nul is zodat \(2^k\equiv 1\text{ mod }3^n\)
.Re: Orde in een eindig veld
Je beweert dat 2 een primitieve wortel is modulo elke macht van 3.
Dat zou heel goed kunnen.
Elke macht van 3 bezit een primitieve wortel.
Of 2 altijd voldoet als primitieve wortel is mij niet bekend.
Je zou er literatuuronderzoek naar moeten doen.
Dat zou heel goed kunnen.
Elke macht van 3 bezit een primitieve wortel.
Of 2 altijd voldoet als primitieve wortel is mij niet bekend.
Je zou er literatuuronderzoek naar moeten doen.
-
- Berichten: 400
Re: Orde in een eindig veld
Ok, ik ga volgende week eens zoeken in de literatuur. Ik dacht dat het probleem niet zo moeilijk zou zijn, zeker met al die superwiskundigen hier, maar als jij het al niet zo meteen weet... dan moet het toch wel moeilijk zijn.
-
- Pluimdrager
- Berichten: 3.505
Re: Orde in een eindig veld
Wellicht is het een idee om hier eens te kijken: http://nl.wikipedia.org/wiki/Galois_lichaam
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel
-
- Berichten: 400
Re: Orde in een eindig veld
Mijn eerste formulering van deze vraag was niet slim, ik weet het dan zoals gezegd niet allemaal meer goed. Het veld met
Ik ben nu aan het werken op de formulering in de tweede post van mij die wel is wat ik bedoel. Ik wil het doen per inductie op n. Dat lijkt vrij goed te werken (hoewel het wat lang is om hier te plaatsen), maar ik zit (alleen) nog met volgend probleem.
Als je een vergelijking zoals
Nu bekijk ik echter deze vergelijkingen modulo
\(3^n\)
elementen is iets heel anders. Dit is geen veld.Ik ben nu aan het werken op de formulering in de tweede post van mij die wel is wat ik bedoel. Ik wil het doen per inductie op n. Dat lijkt vrij goed te werken (hoewel het wat lang is om hier te plaatsen), maar ik zit (alleen) nog met volgend probleem.
Als je een vergelijking zoals
\(x^2\equiv 1\text{ mod }p\)
bekijkt met p een priemgetal, dan heeft deze twee oplossingen (1 en -1) omdat we dit als een vergelijking in een veld met p elementen kunnen zien. Voor \(x^3\equiv 1\text{ mod }p\)
geldt hetzelfde: hoogstens 3 oplossingen. Ik ga ervan uit dat ik het hier nog juist heb?Nu bekijk ik echter deze vergelijkingen modulo
\(3^n\)
. De ring waarin we dan werken is geen veld meer. Mijn vraag is of nog steeds geldt dat in het eerste geval 1 en -1 de enige oplossingen zijn en in het tweede geval er niet meer dan 3 oplossingen zijn. In dat geval is het probleem (positief) opgelost.Re: Orde in een eindig veld
Mogelijk heb je iets aan het lemma van Hensel.
Nu is dat een zeer ingewikkelde stelling over m-adische volledige locale ringen (m maximaal ideaal), maar de lifting truc zou je miscchien kunnen gebruiken.
Zomaar zoeken op dat lemma het internet heeft niet zo veel zin, omdat er zeer veel formulerinigen zijn van dat lemma.
Uitleg volgt nog.
Nu is dat een zeer ingewikkelde stelling over m-adische volledige locale ringen (m maximaal ideaal), maar de lifting truc zou je miscchien kunnen gebruiken.
Zomaar zoeken op dat lemma het internet heeft niet zo veel zin, omdat er zeer veel formulerinigen zijn van dat lemma.
Uitleg volgt nog.
Re: Orde in een eindig veld
Gegeven is een monische veelterm met gehele coëfficienten
Stel dat er een natuurlijk getal
dan kunnen we een rijtje
Neem
Stel (inductie) dat we reeds weten dat
Dan is (eerste orde Taylorreeksontwikkeling)
Ik wil nu
Die
Het is duidelijk dat
Dan is er een
Neem in jouw geval
\(f\)
.Stel dat er een natuurlijk getal
\(n\)
bestaat zo dat \(f(n)\)
deelbaar is door priemgetal \(p\)
en \(f'(n)\)
niet deelbaar is door \(p\)
,dan kunnen we een rijtje
\(n_1,n_2,\cdots\)
maken zo dat \(f(n_k)\)
deelbaar is door \(p^k\)
voor elke \(k\)
.Neem
\(n_1 = n\)
.Stel (inductie) dat we reeds weten dat
\(f(n_k)\)
deelbaar is door \(p^k\)
voor zekere \(k>0\)
.Dan is (eerste orde Taylorreeksontwikkeling)
\(f(n_k+cp^k) \equiv f(n_k) + cp^kf'(n_k) \mod p^{k+1}\)
voor elke \(c\)
.Ik wil nu
\(c\)
zo kiezen dat het rechter lid 0 is. Dan neem ik \(n_{k+1} = n_k+cp^k\)
.Die
\(c\)
vinden we als volgt:Het is duidelijk dat
\(n=n_1 \equiv n_2 \equiv \cdots \equiv n_k \mod p\)
Dan is \(f'(n_k) \equiv f'(n) \not \equiv 0 \mod p\)
.Dan is er een
\(m\)
zo dat \(mf'(n_k) \equiv 1 \mod p\)
Nu kunnen we \(c\)
zo kiezen dat \(f(n_k) + cp^kf'(n_k)=0\)
en dus dat \(f(n_{k+1}) \equiv 0 \mod p^{k+1}\)
.Neem in jouw geval
\(p=3\)
en als veelterm \(f(n) = n^2-1\)
.