ellips

[ukster]

wat is de ellipsvergelijking als alle vier punten zijn gegeven?

[tempelier]

Kegelsneden liggen in het algemeen vast door vijf punten,
Dit zijn er maar vier, wel is waar is er nog een gegeven dat het een ellips moet zijn, maar of dat voldoende is?
Ik denk het niet want twee ellipsen kunnen elkaar in vier punten snijden.

[ukster]

volgens mij zijn 4 punten genoeg!
algemene ellipsvergelijking:

ellipsvergelijking.png (1.54 KiB) 21081 keer bekeken

uit x=0 volgt y1 en y2
uit y=0 volgt: x1 en x2
Omgekeerd zal de ellipsvergelijking vastliggen met y1,y2,x1 en x2

[tempelier]

Maar dan krijg je toch vierkantsvergelijkingen waarvan niet alle coëfficiënten gegeven zijn?

Uit x=0
volgt immers:
by²+ey+k=0

[ukster]

Je hebt gelijk..

ellipsvergelijking.png (2.87 KiB) 21062 keer bekeken

hiermee blijft de constante c onbekend.
dus is een 5e punt noodzakelijk.
bedankt voor de tip!

[tempelier]

Er is misschien wel iets te zeggen over de oplossingen als geheel.
Die zullen best een soort ellipsbundel vormen

[tempelier]

Ik heb er nog eens over nagedacht:

Ik vermoed dat de assen van de ellipsen wel te bepalen zijn.
Ik dacht dat via de brandpunten te spelen.

Helaas heb ik het van het weekend nogal druk, dus dat wordt wel volgende week.

PS>
Nogmaals ten overvloede vermeld:
Ik heb geen bewijs maar slechts een vermoede.

[Xilvo]

In ieder geval voor een geval als getekend, met twee punten op een verticale lijn en twee op een horizontale lijn, boven en onder resp. links en rechts van het snijpunt van die lijnen, is er een oplossing met een horizontale en een verticale as.

Dat betekent dat op z'n minst niet in alle gevallen die assen vastliggen bij vier gegeven punten.

[Bart23]

Er zal zeker een mooie voorwaarde zijn op x1,... zodanig dat de kegelsnede een ellips is.
Het idee is eenvoudig: stel de vergelijking van de bundel op en stel de voorwaarde op dat de kwadratische determinant groter dan nul is.
Ik zal het morgen (of zo) eens uitrekenen als niemand zich nog geroepen voelde.

[Bart23]

We stellen de vergelijking op van de bundel kegelsneden, met basisexemplaren

\(K_1:xy=0\)

en

\(K_2:(\frac{x}{x_1}+\frac{y}{y_1}-1)(\frac{x}{x_2}+\frac{y}{y_2}-1)=0\)

\(B: xy+h\cdot (\frac{x^2}{x_1x_2}+(\frac{1}{x_1x_2}+\frac{1}{x_2y_1})xy+\frac{y^2}{y_1y_2}+\cdots)=0\)

\(\Leftrightarrow \frac{h}{x_1x_2}x^2+(1+h\frac{x_1y_2+x_2y_1}{x_1x_2y_1y_2})xy+\frac{h}{y_1y_2}y^2+\cdots=0\)

De kegelsnede is een ellips

\(\Leftrightarrow\delta>0\)

\(\Leftrightarrow\left|\begin{array}{ccc}\frac{h}{x_1x_2} & \frac{1}{2}(1+h\frac{x_1y_2+x_2y_1}{x_1x_2y_1y_2}) \\\frac{1}{2}(1+h\frac{x_1y_2+x_2y_1}{x_1x_2y_1y_2}) & \frac{h}{y_1y_2}\end{array}\right|>0\)

\(\Leftrightarrow \frac{h^2}{x_1x_2y_1y_2}-\frac{1}{4}(1+h\frac{x_1y_2+x_2y_1}{x_1x_2y_1y_2})^2>0\)

\(\Leftrightarrow 4(x_1x_2y_1y_2)h^2-(x_1x_2y_1y_2+h(x_1y_2+x_2y_1))^2>0\)

\(\Leftrightarrow (4x_1x_2y_1y_2-(x_1y_2+x_2y_1)^2)h^2-2x_1x_2y_1y_2(x_1y_2+x_2y_1)h-(x_1x_2y_1y_2)^2>0\)

\(\Leftrightarrow (x_1y_2-x_2y_1)^2h^2+2x_1x_2y_1y_2(x_1y_2+x_2y_1)h+(x_1x_2y_1y_2)^2<0\)

De geschikte waarden van h liggen dus tussen de 2 nulpunten van het linkerlid. Die zoeken we nu:

\(D=4(x_1x_2y_1y_2)^2(x_1y_2+x_2y_1)^2-4(x_1x_2y_1y_2)^2(x_1y_2-x_2y_1)^2=16(x_1x_2y_1y_2)^3\)

Conclusie: Alle ellipsen door de 4 gegeven punten hebben als vergelijking

\( xy+h\cdot (\frac{x^2}{x_1x_2}+(\frac{1}{x_1x_2}+\frac{1}{x_2y_1})xy+\frac{y^2}{y_1y_2}+\cdots)=0\)

waarbij h ligt in het interval tussen de 2 waarden

\( \frac{-x_1x_2y_1y_2}{(x_1y_2-x_2y_1)^2}(x_1y_2+x_2y_1\pm2\sqrt{x_1x_2y_1y_2})\)

(de puntjes in de vergelijking vind je door de vergelijking van K2 verder uit te werken)
Merk op dat het aantal mintekens van de gegeven coördinaten even moet zijn, wil je een oplossing hebben.
De assen, zou je kunnen berekenen, maar een 'animatie' in geogebra laat al zien dat die niet invariant zijn.

[ukster]

conversie.png (11.68 KiB) 19818 keer bekeken

Hoe verloopt zo’n conversie eigenlijk?

[Bart23]

Ik zal laten zien hoe je dit kunt vinden op een 'hands on' manier, dus zonder veel voorkennis van homogene coördinaten, partiële afgeleiden en eigenwaarden- en vectoren.
eerst zullen we de noemers al wegwerken:

\( 234x^2+106y^2+96xy-520x-940y-2350=0 \qquad(1)\)

Het idee is om een verschuiving en daarna een rotatie van het assenstelsel toe te passen, zodanig dat de nieuwe vergelijking de vorm x²/a²+y²/b²=1 wordt.
Eerst de verschuiving. We willen een verschuiving van het assenstelsel zodanig dat de x-term en y-term in (1) wegvalt. Daartoe verschuiven we (0,0) naar het voorlopig onbekende punt (r,s):

\(\{\begin{array}{ccc}x & = & x'+r \\ y & = & y'+s\end{array}\qquad (*)\)

Ingevuld in vergelijking (1) geeft:

\(234 r^2 + 96 r s + 468 r x + 96 r y - 520 r + 106 s^2 + 96 s x + 212 s y - 940 s \)

\(+ 234 x^2 + 96 x y - 520 x + 106 y^2 - 940 y - 2350=0 \qquad(2)\)

We willen geen lineaire term, dus we stellen:

\(\{\begin{array}{ccc}468r+96s-520 & = &0 \\ 96r+212s-940 & = & 0\end{array}\)

Dit stelsel heeft als oplossing r=2/9 en s=13/3. Als we deze r en s invullen in vergelijking (2), krijgen we:

\( 234x'^2+106y'^2+96x'y'-40000/9=0 \qquad(3)\)

Nu willen we nog de term in x'y' wegwerken. Dit doen we door het (x',y')-assenstelsel te roteren over een voorlopig onbekende hoek θ:

\(\{\begin{array}{ccc}x' & = & cosθ\cdot x''-sinθ\cdot y'' \\ y'& = & sinθ\cdot x''+cosθ\cdot y''\end{array}\qquad (**)\)

De vergelijking wordt:

\( (234\cos^2\theta+106\sin^2\theta+96\cos\theta\sin\theta)x''+(234\sin^2\theta+106\cos^2\theta-96\sin\theta\cos\theta)y''\)

\(+(-234\cdot2\cos\theta\sin\theta+106\cdot2\sin\theta\cos\theta+96(\cos^2\theta-\sin^2\theta))x''y''-\frac{40000}{9}=0 \qquad (4)\)

De term in x"y" moet wegvallen, dus stellen we

\(-128\cdot2\cos\theta\sin\theta+106\cdot2\sin\theta\cos\theta+96(\cos^2\theta-\sin^2\theta)=0\)

We weten uit goniometrie

\(\sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta\qquad\qquad \cos 2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta\)

Dus kunnen we de voorwaarde herschrijven als

\(-128\sin2\theta+96\cos2\theta=0\Leftrightarrow-4\sin2\theta+3\cos2\theta=0\)

Hieruit is het niet moeilijk om θ te berekenen met een rekenmachine, maar we willen graag exacte waarden, dus moeten we nog wat meer pijn lijden. We vervangen sin 2θ en cos 2θ door een uitdrukking in tan θ (m.b.v. de 't-formules')

\(-4\cdot\frac{2\tan\theta}{1+\tan^2\theta}+3\cdot\frac{1-\tan^2\theta}{1+\tan^2\theta}=0\)

\(\Leftrightarrow -8\tan\theta+3(1-\tan^2\theta)=0\Leftrightarrow 3\tan^2\theta+8\tan\theta-3=0\)

Deze vierkantsvergelijking heeft discriminant 100 en als oplossingen voor tan θ:

\(\tan\theta=\frac{-8\pm10}{6}=-3 ~\textrm{of} ~\frac{1}{3}\)

Kies nu (bijvoorbeeld) de θ uit het vierde kwadrant met tangens -3. Visueel gaan we nu het assenstelsel roteren over een hoek Bgtan(-3). Uit de tangens bereken we (met de grondformule) nog de sin en de cos, terwijl we wat betreft de tekens rekening houden met het feit dat we θ in het vierde kwadrant gekozen hebben.

\(\cos\theta=\frac{1}{\sqrt{1+\tan^2\theta}}=\frac{1}{\sqrt{10}}\qquad \sin\theta=-\sqrt{1-\cos^2\theta}=-\frac{3}{\sqrt{10}}\)

Als we deze waarden invullen in vergelijking (4), vinden we:

\(90x''^2+250y''^2-\frac{40000}{9}=0\Leftrightarrow\frac{x''^2}{(\frac{20\sqrt{10}}{9})^2}+\frac{y''^2}{(\frac{4\sqrt{10}}{3})^2}=1\)

We hebben dus in dit (x",y")-assenstelsel een ellips die als assen de coördinaatassen heeft, met halve lange as a=20√10/9 en halve korte as b=4√10/3. De parameter voorstelling van deze ellips in dit coördinatenstelsel is:

\(\{\begin{array}{ccc}x'' & = &\frac{20\sqrt{10}}{9}\cos t \\ y''& = & \frac{4\sqrt{10}}{3}\sin t\end{array}\)

Als we dit invullen in (**), bekomen we

\(\{\begin{array}{cccc}x' & = & \cos\theta\cdot\frac{20\sqrt{10}}{9}\cos t -\sin\theta\cdot \frac{4\sqrt{10}}{3}\sin t &= \frac{20}{9}\cos t+4\sin t\\ y'& = & \sin\theta\cdot \frac{20\sqrt{10}}{9}\cos t+\cos\theta\cdot \frac{4\sqrt{10}}{3}\sin t & =-\frac{20}{3}\cos t+\frac{4}{3}\sin t\end{array}\)

Vullen we dit tenslotte nog in in (*):

\(\{\begin{array}{ccc}x & = &= \frac{20}{9}\cos t+4\sin t+\frac{2}{9}\\ y& = &-\frac{20}{3}\cos t+\frac{4}{3}\sin t+\frac{13}{3}\end{array}\)

Als je nu nog precies hetzelfde vergelijkingen wil bekomen, moet je nog een substitutie

\(t=t'+90°\)

doen. Dan wordt sin t=cos t' en cos t=-sin t'. Als we een andere mogelijkheid voor θ hadden gekozen (in het 1ste kwadrant), was dit ineens op jouw versie uitgekomen.

[ukster]

Allemachtig, dit is niet iets voor op de achterkant van een bierviltje op een regenachtige zondagmiddag.
Ik wil je heel erg bedanken voor de enorme geleverde inspanning om mij deze “hands on” gang van zaken voor deze trigonometrische ellipsparametrisatie zo helder uit te leggen en ook de uitwerking ervan met de benodigde inzichten: verschuiven, rotatie, eliminatie van termen ,substituties ,goniometrische identiteiten etc. met als doel een ellips die als assen de coördinaatassen heeft.
Nogmaals, zeer bedankt!

[mathfreak]

Op https://nl.wikipedia.org/wiki/Kegelsnede vind je onder "Middelpunt van een ellips of hyperbool" hoe je aan de hand van de algemene gedaante van de ellipsvergelijking het middelpunt van de ellips kunt vinden.

[ukster]

inderdaad.. middelpunt(2/9,13/3)
En zo zal ook voor deze ellips de richtlijn x-3y=15, brandpunt (2,-1) en excentriciteit e=4/5 uit de gegeven x-y vorm of parametervorm zijn te bepalen.