x^n als functie van Combinaties

[Professor Puntje]

Zijn dit je "getallen van Lara"? Zo ja - dan zou dat overeen moeten stemmen met:

L(0,1) L(1,1)
L(0,2) L(1,2) L(2,2)
L(0,3) L(1,3) L(2,3) L(3,3)
L(0,4) L(1,4) L(2,4) L(3,4) L(4,4)
L(0,5) L(1,5) L(2,5) L(3,5) L(4,5) L(5,5)
L(0,6) L(1,6) L(2,6) L(3,6) L(4,6) L(5,6) L(6,6)

Kan iemand met programmeer-ervaring het bovenstaande schema genereren?

[Human]

PP,

Zo zie ik het ook.
Ze zijn gewoon het resultaat van de tweede factoren "de basis verschillen" in mijn formule geschreven in mijn foto en in mijn
word160 document.
De formulering (in oude combinatie notatie) in mijn formule van deze "basis verschillen" is het generatie - mechanisme.

[Human]

PP,

Mag ik van U weten wat U nu van plan bent met de formule?
Of zet U die on "hold" tot ik mijn vermeend bewijs van FLT in een aparte Topic plaats.
Ik heb nog een interessante vraag in verband met een alternatief van mijn ....... maar zal het eerst proberen zelf op te lossen.

p.s. In de getallen ban Lara moet ook de macht 0 voorkomen met als Lara getal 1
Omdat alle getallen tot de macht 0 ... 1 zijn.

[Xilvo]

getallen-lara.png

Zijn dit je "getallen van Lara"? Zo ja - dan zou dat overeen moeten stemmen met:

L(0,1) L(1,1)
L(0,2) L(1,2) L(2,2)
L(0,3) L(1,3) L(2,3) L(3,3)
L(0,4) L(1,4) L(2,4) L(3,4) L(4,4)
L(0,5) L(1,5) L(2,5) L(3,5) L(4,5) L(5,5)
L(0,6) L(1,6) L(2,6) L(3,6) L(4,6) L(5,6) L(6,6)

Kan iemand met programmeer-ervaring het bovenstaande schema genereren?

[1]
[1, 1]
[1, 3, 2]
[1, 7, 12, 6]
[1, 15, 50, 60, 24]
[1, 31, 180, 390, 360, 120]
[1, 63, 602, 2100, 3360, 2520, 720]
[1, 127, 1932, 10206, 25200, 31920, 20160, 5040]
[1, 255, 6050, 46620, 166824, 317520, 332640, 181440, 40320]
[1, 511, 18660, 204630, 1020600, 2739240, 4233600, 3780000, 1814400, 362880]
[1, 1023, 57002, 874500, 5921520, 21538440, 46070640, 59875200, 46569600, 19958400, 3628800]
[1, 2047, 173052, 3669006, 33105600, 158838240, 451725120, 801496080, 898128000, 618710400, 239500800, 39916800]
[1, 4095, 523250, 15195180, 180204024, 1118557440, 4115105280, 9574044480, 14495120640, 14270256000, 8821612800, 3113510400, 479001600]

[Professor Puntje]

Heel goed!!

Dan ziet het ernaar uit dat we nu Human's verhaal in nette wiskundige formules hebben omgezet.

[Human]

pp,

Duizend maal dank daarvoor.
Het was wel Human's "formule" en niet Human's "verhaal" ...... maar ik denk dat ik U begrijp, er was meer "verhaal" dan "formule" bij, sorry.

1. Hoe komt U zo snel aan al die grote "Lara" getallen ?
2. Mag ik antwoord op mijn vorige reactie? ..... ben benieuwd.

[Professor Puntje]

1. Hoe komt U zo snel aan al die grote "Lara" getallen ?

Die heeft Xilvo gegenereerd.

2. Mag ik antwoord op mijn vorige reactie? ..... ben benieuwd.

Wat mij betreft is dit topic hiermee klaar. Mocht je in een ander topic toch nog met Fermats Laatste Stelling aan de slag gaan dan zal ik daar even naar kijken, maar verder beloof ik niets.

[Human]

Vincent,

Bedankt hoor.

PP en Vincent,

Vruchteloos probeerde ik de formule van x^n als functie van Combinaties van "x" te schrijven in plaats van in die van (x-1).
Zien jullie dat voor mogelijk via de moderne notatie van de formule?
Geeft dat aanleiding tot een soort "Getallen van Lara" van de tweede orde ?

[Professor Puntje]

Je zou van onderstaande kunnen uitgaan en dan zien waar je op uitkomt:

Bron: https://en.wikipedia.org/wiki/Stirling_ ... _functions

[Human]

PP en Vincent,

In mijn dik pak oude papieren vond ik natuurlijk het antwoord.
Na 10 jaar was ik het vergeten.

Gebruik makende van mijn formule en "spelende" met de eigenschappen van Combinaties kwam ik tot de volgende "getallen van Lara, 2de soort" voor het geval x^n met combinaties van (x) in plaats van van (x-1).
(Bovenstaande is voor jullie zeker duidelijk.)

Met combinaties van (x-1)
macht1....gaf 1,1
macht2... gaf 1,3,2
macht3....gaf 1,7,12,6
macht4....gaf 1,15,50,60,24
macht5....gaf 1,31,180,390,360,120,

Met combinaties van (x)
macht1....geeft 0,1
macht2....geeft 0,1,2
macht3....geeft 0,1,6,6
macht4....geeft 0,1,14,36,24
macht5....geeft 0,1,30,150,240,120

De laatste getallen zijn nog altijd n!

De getallen voor (x) kan men bepalen uit die van (x-1)
Als men de getallen voor (x-1) A,B,C,D ...... noemt
en die voor (x) A',B',C',D' ......

Dan is A' = (A-B+C-D ......)
Dan is B' = (0+B-C+D ......)
Dan is C '= (0-0+C-D .......)
enz...


Mijn wiskundig gevoel komt daarmee tot een "eigen" besluit dat x^n in combinaties kan van (x-1) maar ook in die van (x) ..... maar ook in die van(x-2) en (x-3) en (x+1) en (x+2) ............
Daarbij horen telkens specifieke "getallen van Lara.

Al bij al een "storm in een glas water" ..... **** happens ......wellicht waardeloos .... tenzij !!!
Bedankt aan allen

[Human]

OOOVincentOOO,

Kan / wilt U de getallen genereren voor de combinaties in (x) in plaats van in (x-1) volgens het mechanisme hierboven.
Als het kan graag tot macht 10 aub.

[OOOVincentOOO]

@Human,

De afgelopen weken ben ik te intensief bezig geweest. Nu een periode van rust en reflectie voor mij.

[Human]

Vincent,

So do I.
Geen probleem hoor.
Trouwens "problemen" bestaan niet echt .... ze zijn maar een constructie van de menselijke geest.

[Professor Puntje]

getallen-lara.png

Zijn dit je "getallen van Lara"? Zo ja - dan zou dat overeen moeten stemmen met:

L(0,1) L(1,1)
L(0,2) L(1,2) L(2,2)
L(0,3) L(1,3) L(2,3) L(3,3)
L(0,4) L(1,4) L(2,4) L(3,4) L(4,4)
L(0,5) L(1,5) L(2,5) L(3,5) L(4,5) L(5,5)
L(0,6) L(1,6) L(2,6) L(3,6) L(4,6) L(5,6) L(6,6)

Kan iemand met programmeer-ervaring het bovenstaande schema genereren?

[1]
[1, 1]
[1, 3, 2]
[1, 7, 12, 6]
[1, 15, 50, 60, 24]
[1, 31, 180, 390, 360, 120]
[1, 63, 602, 2100, 3360, 2520, 720]
[1, 127, 1932, 10206, 25200, 31920, 20160, 5040]
[1, 255, 6050, 46620, 166824, 317520, 332640, 181440, 40320]
[1, 511, 18660, 204630, 1020600, 2739240, 4233600, 3780000, 1814400, 362880]
[1, 1023, 57002, 874500, 5921520, 21538440, 46070640, 59875200, 46569600, 19958400, 3628800]
[1, 2047, 173052, 3669006, 33105600, 158838240, 451725120, 801496080, 898128000, 618710400, 239500800, 39916800]
[1, 4095, 523250, 15195180, 180204024, 1118557440, 4115105280, 9574044480, 14495120640, 14270256000, 8821612800, 3113510400, 479001600]

Die getallen waren zoals je ziet gegenereerd door Xilvo, niet door OOOVincentOOO. Ik denk dat Xilvo dat op basis van de formule voor L(k,m) met Python gedaan heeft maar weet dat niet zeker.

[OOOVincentOOO]

Die serie staat ook op OEIS:

https://oeis.org/search?q=1%2C31%2C180% ... &go=Search

Triangular array a(n,k) = (1/k)*Sum_{i=0..k} (-1)^(k-i)*binomial(k,i)*i^n; n >= 1, 1 <= k <= n, read by rows.