Ellips omtrek

[Human]

Er is een eenvoudige benaderende formule voor de omtrek van de ellips.

L = 4 (a^x +b^x) ^1/x ...............met x= ln 2 / ln (pi/2)

Dil lijkt mij de eenvoudigste benaderende formule om een halve as te berekenen als de omtrek en de andere halve as bekend zijn.

Klopt dat ?


Of ook in termen van excentriciteit e

L= 4a (1+(1-e^2)^x/2)^1/x

[tempelier]

Als de assen niet te veel schelen kun je het gemiddelde nemen en als straal gebruiken.

[Human]

Dat is wel zeeeeer benaderend.
De vermelde formule is blijkbaar perfect voor a = 0 of b= 0 en voor a=b (cirkel.
Voor andere a en b ..... zeer nauwkeurig.
U bekend ?

[tempelier]

Ik heb het uitgerekend als de assen 6 en 8 zijn.

Uitgerekend via integreren:
k1 := 22.1034921607095050453

Met mijn benadering:
k2 := 21.9911485751285526692

De fout is dan:
0.510858199139312823497%

Kortom de fout is pakweg 0.5%
Daar valt meestal wel mee te leven.

[ukster]

Met mathsoftware kun je het numeriek het best laten oplossen vanuit de elliptische integraal van de tweede soort. (hoogste nauwkeurigheid denk ik)

ellips integraal.png (7.91 KiB) 2646 keer bekeken

[tempelier]

Dat heb ik ook gedaan voor het juiste antwoord.
Maar het ging dacht ik om het snel te vinden.

Het verschil tussen de assen mag dan niet te veel zijn.
Bij een verhouding van de assen van 1 op 2 is de fout al 2.8%
Bij een groter verschil zou ik mijn benadering willen afraden.

[Human]

Is de formule uit mijn topic jullie bekend ?

Stel een tuinman (met een reken machien) moet een grote ellipsvormige vijver maken in een tuin.
Hij heeft maar 100 lopende meter boord-stenen. ... L = 100
De grote as (2a) mag maar 60 m zijn.
Hij wilt de kleine as kennen.

Ik denk dat deze formule daar zeer voor geschikt is ...... en zeer zeer goed benaderend.

b = ((L/4)^x -a^x)^1/x ...... met x = ln2 / ln (pi/2) = 1,534928536......

[tempelier]

Mij lijkt het dat je probleem niet helemaal goed is geformuleerd.
Uit een gegeven omtrek volgen immers niet eenduidig de assen.

[Human]

Ik gaf als voorbeeld de omtrek L= 100 en de grote as 2a = 60 m

Welke benaderende formule (met heel kleine fouten marge) is het eenvoudigst om b (of 2b) te berekenen.

Ik gebruik de door mij opgegeven formule .... jullie bekend ?

[tempelier]

Nee je gaf op mag maar 60 zijn dus kleiner zo ook mogen.

Als de omtrek 100 is kan de lange as niet groter dan 50 zijn.

[ukster]

Uit de benadering

tuinman.png (3.63 KiB) 2593 keer bekeken

dat moet voldoende nauwkeurig zijn voor onze vaardige tuinman om een eventueel resterend gaatje te kunnen dichten.

[ukster]

Waarom geef je een voorbeeld waar een complex antwoord uit komt?
Beter L=200m a=30 2a=60
b=33,461m 2b=67,122m

[Human]

Sorry, weeral fout van mij .... 200 m ipv 100 m.

Maar nu opnieuw de vraag:

Is de benaderende formule L = 4 (a^x + b^x) ^1/x met x = ln 2/ ln (pi/2) jullie bekend ?
De maximale afwijking zou maar 0,4 % zijn.

Wie bewijst wiskundig (geen rekenvoorbeeld) dat de formule niet exact is ?
Met respect !

[mathfreak]

Is de benaderende formule L = 4 (a^x + b^x) ^1/x met x = ln 2/ ln (pi/2) jullie bekend?

Niet bij mij in ieder geval. Heb je misschien een link naar die formule?

[Human]

De formule van Ynot, zie internet !