Coördinaten berekenen van spiegelpunt

[Blitz]

Hallo,

ik heb een formule nodig die de coördinaten kan berekenen van het spiegelpunt (x4,y4) van een punt (x3,y3) dat gespiegeld wordt om een rechte die loopt door 2 punten (x1,y1 en x2,y2).

De formule moet bruikbaar zijn voor punten die zowel boven als onder de rechte liggen.

Kan iemand mij hierbij helpen?

[Xilvo]

De richtingscoëfficiënt \(a\) van de lijn is \(a=\tan\phi=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\).
Roteer alle punten over een hoek \(-\phi\). De lijn is dan horizontaal.
Verschuif de lijn zodat hij samenvalt met de x-as, schuif de punten \(p_3\) en \(p_4\) mee.

Spiegel de punten \(p_3\) en \(p_4\) om de x-as: \(y\) wordt \(-y\)
Schuif alles weer terug en roteer vervolgens over de hoek \(\phi\).

[wnvl1]

Of je berekent de vergelijking van de rechte loodrecht op de rechte door de eerste twee punten en door het derde punt.. Loodrecht betekent dat het product van de rico's -1 is. Je berekent dan het snijpunt van deze rechte met de rechte door de eerste twee punten. Je verschuift vervolgens het derde punt over twee keer de vector tot dat snijpunt. Dat is een alternatief.

[Xilvo]

Of je berekent de vergelijking van de rechte loodrecht op de rechte door de eerste twee punten en door het derde punt.. Loodrecht betekent dat het product van de rico's -1 is. Je berekent dan het snijpunt van deze rechte met de rechte door de eerste twee punten. Je verschuift vervolgens het derde punt over twee keer de vector tot dat snijpunt. Dat is een alternatief.

Dat is ook een prima methode. Hoe de afstand van een punt tot een lijn te berekenen staat hier

[wnvl1]

Dat is ook een prima methode. Hoe de afstand van een punt tot een lijn te berekenen staat hier

Dat is op zich niet echt nodig. Als het snijpunt (a, b) is, dan is het punt dat je moet hebben
$$(2a-x_3, 2b-y_3)$$

[ukster]

concreet voorbeeld

beeldpunt Q.png (17.35 KiB) 2829 keer bekeken

beeldpunt 1.png (10.22 KiB) 2829 keer bekeken

beeldpunt2.png (6.53 KiB) 2829 keer bekeken

[ukster]

1.png (18.47 KiB) 2761 keer bekeken

volgens mij zijn dit de gevraagde beelpuntcoordinatenformules (spiegellijn ax+by+c=0)

2.png (5.97 KiB) 2761 keer bekeken

getest op het eerder genoemde concrete voorbeeld

3.png (2.13 KiB) 2761 keer bekeken

[ukster]

dit kan beter..
Puur uitgedrukt in de coordinaten (x1,y1)(x2,y2),(x3,y3)

beeldpuntcoordinaten (x4,y4).png (5.48 KiB) 2721 keer bekeken

[ukster]

Simplified

simplified.png (5.79 KiB) 2713 keer bekeken

[RedCat]

Beide noemers van ukster zijn nog verder te vereenvoudigen tot

\(\small (x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2\)

Noem

\(\small dx=x_1-x_2\)

\(\small dy=y_1-y_2\)

\(\small n=dx^2+dy^2;\)

en daarmee

\(\small p=(dx^2-dy^2)/n;\)

\(\small q=2\cdot dx\cdot dy/n;\)

\(\small r=2(x_2y_1-x_1y_2)\cdot dy/n;\)

\(\small s=2(x_1y_2-x_2y_1)\cdot dx/n;\)

Deze variabelen zijn volledig bepaald door (= hangen alleen af van) de spiegellijn, ofwel de punten (x1,y1) en (x2,y2).
Voor elke spiegellijn hoef je deze dus slechts één keer te berekenen.

Hiermee kan je de breuken van ukster herschrijven als

\(\small x_4 = p\cdot x_3 + q\cdot y_3 + r\)

en

\(\small y_4 = q\cdot x_3 - p\cdot y_3 + s\)

waarmee je van elk punt (x3, y3) zijn spiegelbeeld (x4, y4) kan vinden.


Alternatief (als je rekenprogramma matrices aankan):

\(\small \begin{bmatrix}x_4 \\ y_4 \\ 1 \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}p & q & r \\ q & -p & s \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}x_3 \\ y_3 \\ 1 \\ \end{bmatrix}\)

[ukster]

Perfect samengevat..
Uiteraard even getest op mijn rekenvoorbeeld..

1.png (5.5 KiB) 2619 keer bekeken

2.png (7.33 KiB) 2619 keer bekeken

Allen: De beste wensen voor 2023!

[Logocom]

Hallo,

ik heb een formule nodig die de coördinaten kan berekenen van het spiegelpunt (x4,y4) van een punt (x3,y3) dat gespiegeld wordt om een rechte die loopt door 2 punten (x1,y1 en x2,y2).

De formule moet bruikbaar zijn voor punten die zowel boven als onder de rechte liggen.

Kan iemand mij hierbij helpen?

Ik zie hier hele mooie antwoorden en dank aan allen. Boeiend.

Ik wou even iets kleins toevoegen als 'oude leerkracht' omdat ik zoveel mensen zie afhaken bij een complexe formule.

Dus iets om zelf gewoon te laten bezinken: niets doen, niets tekenen, gewoon er een nacht over slapen.

1. Een rechte is meestal in de vorm van een constante en een variabele. 2x is een recht met punten 0,2,4,6,8,10 en dus eigenlijk ook een som. iedere keer +2 in natuurlijke getallen. Vergeet niet dat de basis ons tiendelige talstelsel is. Moeilijker moet je dit niet maken, je kunt ook 3x nemen, 0,3,6,9,12.
2. Als je wil dat iets spiegelt, dan moet je het omdraaien. Bij optelling moet je minus doen -2x wordt dan 0,-2,-4,-6 en je doet weer 1, je hoeft dus niets bij te leren. Eigenlijk spiegel je hierdoor je X as. Als je de Y as wil spiegelen, dan doe je dat met een tweede coördinaat. Maar vergeet dat even want een rubicon cubus, daar moet je eerst mee spelen, niet leren oplossen of je wordt een gefrusteerde wiskundige die zijn liefde voor het spel der natuur verliest.

Dit is op zich voldoende, maar ik wil even een sprong maken naar begrippen waar iedereen van wegloopt, tot ik zie dat ik het hen even mag uitleggen, en ik van een klas waar 95% wiskunde haat, op het einde van het jaar eindig met een klas waar minder dan 15% nog wiskunde haat (en dat is een falen van mijn kant door het schoolsysteem en beperking in tijd en middelen en uren, mijn schuld eigenlijk, want ik moet meer inspanningen leveren dan maar mag niet altijd van schoolbesturen die ook op rendement leven).

3. Als je ipv een vaste optelgroei een verdubbeling krijgt, dus elke nieuw getal toe je nog eens maal twee, dan krijg je een exponentiële kromme. Het getal exponent in het tiendelig stelsel is hierbij de belangrijkste: 10, 100, 1000, 10000 wordt 10 tot de macht 1, tot de macht 2, tot de macht 3, tot de macht 4 en dus tot het 'aantal nullen'. Als je macht echter gelijk houdt en het getal zelf verandert, krijg je ook zoiets, maar een heel vloeiende oneindige scherper stijgende lijn die eerst van vlak vertrekt en dan almaar stijler gaat maar nooit 90 graden of verticaal bereikt want dan komen we aan het getal oneindig uit (valstrik is onder de 1ste macht, maar dat is een uitdaging voor de knappe wiskundigen hier om in 2023 over te filosoferen en in 2024 een beter antwoord te geven). Hier is de formule x^2 of tot de macht twee ipv 2 maal x.

4. Wat is nu constante en kwadraat in het echte leven? Laat ons maar even Einstein nemen hierbij, die ook op dat probleem zat te broeden zonder het te weten: Zijn trein ging almaar sneller, maar 20,40,60,80,100... kilometer per uur werkte niet. Het moest 10,100,1000,10000 kilometer per uur worden. We spreken dus bij constante van 'snelheid' en bij kwadraat van 'versnelling'. De zwaartekracht op zeeniveau is ongeveer 9,81 m per seconde kwadraat, dus een versnelling, terwijl het zonlicht 300.000 km per seconde is (niet seconde kwadraat).

5. Als je nu op een bepaald punt van zo'n formule als x^2 (kwadraat) wil weten wat de 'versnelling is' dan noemen we dit de afgeleide, of de afgeleide in een punt is de rechte raaklijn op de grafiek op dat vlak. Dus een afgeleide is een raaklijn die ook weer een vereenvoudige functie is. Van x^2 (x kwadraat) is de afgeleide 2 X want hetgene dat wordt bijgevoegd is altijd 2 X zo groot als het vorige).

6. Wat is nu concreet een integraal? Wel een integraal is het oppervlaktegebied van een eerste tot een tweede punt op zo'n grafiek, meestal tussen het eerste en tweede punt dat we bepalen en tussen de X as eronder.

Ik hoop dat ik jullie niet heb weggejaagd, maar ik doe dit in mijn klassen omdat mensen die wiskunde haten, dikwijls heel graag tekenen... Combineer dat dan. (Pi tekenen is nog leuker). +je