Om het makkelijk te maken geen bollen maar drie vlakke platen, eentje tussen twee andere waarvan de temperaturen op 1000 resp. 500 K gehouden worden.
Drie oneindig grote vlakke platen. Links met temperatuur \(T_1\) en \(\epsilon=1\).
Dan eentje met temperatuur \(T_0\) en \(\epsilon =0,5\).
Tenslotte rechts eentje met \(T_2\) en \(\epsilon =0,8\)
Stel je kijkt steeds naar een oppervlak met grootte 1. De Stefan-Boltzmannconstante stellen we ook 1, dat maakt voor het principe niet uit.
Links (tussen linkerplaat en middelste plaat) heb je een warmtestroom naar rechts \(Q_{1,R}= T_1^4\) en een warmtestroom naar links \(Q_{1,L}=0,5(T_1^4+T_0^4)\), de helft van wat naar rechts gaat wordt teruggekaatst.
Netto naar rechts \(Q_{1,N}=0,5 (T_1^4-T_0^4)\)
Tussen de middelste en de rechterplaat heb je een warmtestroom naar rechts \(Q_{2,R}=0,5 T_0^4+0,5 Q_{2,L}\)
Naar links \(Q_{2,L}=0,8 T_2^4+0,2 Q_{2,R}\)
Samen geeft dat \(Q_{2,L}=0,8 T_2^4+0,1 T_0^4+0,1 Q_{2,L} \)
\(Q_{2,L}=\frac{8}{9}T_2^4+\frac{1}{9}T_0^4\)
En naar rechts \(Q_{2,R}=0,5 T_0^4+\frac{4}{9}T_2^4+\frac{1}{18}T_0^4=\frac{10}{18}T_0^4+\frac{4}{9}T_2^4\)
Netto naar rechts \(Q_{2,N}=\frac{8}{18} T_0^4-\frac{4}{9} T_2^4\)
Bij stationaire toestand (middelste plaat ontvangt evenveel als wat die verliest) geldt
\(\frac{8}{18} T_0^4-\frac{4}{9} T_2^4=0,5 (T_1^4-T_0^4)\)
dus
\(\frac{17}{18}T_0^4=\frac{1}{2}T_1^4+\frac{4}{9} T_2^4\)
of
\(17 T_0^4=9 T_1^4+8 T_2^4\)
Bij de gegeven temperaturen, \(T_1=1000 K\) en \(T_2=500 K\), geeft dat een temperatuur voor de middelste plaat van \(T_0=864,6 K\)
Nog een heel verhaal voor zo'n simpel geval...