Gravitatieformule

marcus

Ik zit met de volgende vraag.

Ik heb twee kubussen materiaal A en B tegen elkaar gelijmd : afmetingen zijn identiek. Gewicht elk 1 kg. Direkt tegen B aan (net niet raken) staat een kubus C met ook gewicht 1 kg.

Ik wil berekenen welke zwaartekracht C ondervindt van A en B samen. De lengte van de ribben stel ik op 1.

Mijn eerste gedachte was uit te gaan van het gewicht van A en B samen : 2 kg en de afstand tussen C en het zwaartepunt van A en B als r in de gravitatieformule : Fz=M1*M2*G/r^2 in te vullen. r is dan 1,5 (helft diameter C + diameter B = 1,5).

Daar komt dan uit : Fz = 2*1*G/2,25 = 2/2,25 G

Ter kontrole bereken ik de zwaartekrachten die A en B elk apart op C uitoefenen.

Fz (A-C) = 1*1*G/ 2^2 =0,25 G

Fz (B-C) = 1*1 *G/ 1^2= G

De som van beide zwaartekrachten is 1,25 G.

2/2,25 = 1,25 ? Nee natuurlijk maar welke berekening is dan natuurkundekundig de juiste berekening ?

Phys

Ze zijn beide geheel fout. De formule die je gebruikt is geldig voor puntdeeltjes, en (dus) voor massieve bollen. Niet voor kubussen. Om dit te berekenen moet je integralen gaan opstellen [op iedere puntdeeltje van je kubus pas je de wet toe] en alles vectorieel mooi optellen, een niet al te leuke klus.

marcus

Vergelijkbare berekeningen zijn ook te maken met bollen dat maakt geen verschil en in bovenstaande ga ik voor r juist steeds uit van de zwaartepunten en die werken dan als wat je noemt puntdeeltjes. Ik kan elke kubus in steeds meer puntdeeltjes opdelen en op basis van de betreffende afstanden Fz berekenen en dan optellen maar waarom mag ik niet de massa geconcentreerd denken in het zwaartepunt ? Dat lijkt me toch vrij gangbaar bijv bij berekeningen van massa van aarde ?

De "massa" wordt overeenkomstig de formule toch geconcentreerd gedacht in het zwaartepunt ? Wellicht heb je gelijk dat het daaraan ligt (die abstrahering ontneemt materie ahw volume, ruimte) Maar hoe wordt dit dan gedaan voor bijv experimentele bepaling van de gravitatieconstante ? Welke r wordt dan aangehouden ? Of maan - aarde moet je dan als r niet de afstand tussen de zwaartepunten nemen ?

Never express yourself more clearly than you think.

Die zal ik onthouden.

Phys

Dat lijkt me toch vrij gangbaar bijv bij berekeningen van massa van aarde ? De "massa" wordt overeenkomstig de formule toch geconcentreerd gedacht in het zwaartepunt ?

Ja, maar zoals gezegd gaat dat louter op omdat de aarde (nagenoeg) een bol is. Het bewijs hiervan is niet triviaal, zie hier. Bolsymmetrie is essentieel.

We hebben een vergelijkbaar topic gehad op dit forum, ik ga even zoeken.

\\edit: gevonden, klik

marcus

Vervang de kubussen door bollen...

Phys

Dan is je vraagstelling niet volledig.

marcus schreef:Ik heb twee bollen A en B tegen elkaar gelijmd, afmetingen zijn identiek. Gewicht massa elk 1 kg. Direkct tegen B aan (net niet raken) staat een bol C met ook Gewicht massa 1 kg.

Ik wil berekenen welke zwaartekracht C ondervindt van A en B samen. De straal(?) stel ik op 1.

1) is bol C identiek aan bol A en B (d.w.z. dezelfde straal?). Je zegt alleen dat de massa's gelijk zijn.

2) het belangrijkste: hóe is bol C precies gepositioneerd? "direct tegen bol B aan" laat oneindig veel mogelijkheden open, met alle verschillende antwoorden.

marcus

Identiek en op n rijtje, zoals (en in zoverre, het blijven ook dan drie verschillende biljartballen) drie biljartballen identiek zijn. Kubussen of bollenmaakt in dit geval niet uit. Wat ik wil weten is hoe bereken ik in dit - uiterst simpele - geval de zwaartekracht die C ondervndt van A en B samen ?

Phys

Dus als ik het begrijp is dit de situatie?

: circles.JPG (8.73 KiB) 579 keer bekeken

(de rechte lijn om aan te geven dat ze precies op een rijtje liggen)

marcus

Bijvoorbeeld, maar een vergelijkbare situatie met tussen B en C een afstand of ook tussen A en B (bijv identiek aan diameter biljartbal) kan ook en kubussen of driehoeken om mijn part maakt ook geen verschil omdat de "zwaartepunten" middelpunten dan niet qua positie veranderen en daar gaat de formule dacht ik toch vanuit. A en B mag je ook als aan elkaar gelijmd of los van elkaar beschouwen (maakt dat verschil ?). Steeds kom je uit op een verschil tussen enerzijds A en B als een geheel beschouwd, rekenend (voor r^2) met hun zwaartemiddelpunt of anderzijds zwaartekrachten van A en B tov C apart berekenen.

marcus

Ze zijn beide geheel fout. De formule die je gebruikt is geldig voor puntdeeltjes, en (dus) voor massieve bollen.

De formule geldt voor massieve bollen dus blijft de vraag open...Waarom is bij toepassing van de formule zelf in dit geval de zwaartekracht Fz (AB-C) niet gelijk zwaartekracht Fz (A-C)+Fz (B-C) en dus wiskundig een van beide benaderingen (of beide) onjuist ? Of werkt de formule alleen voor twee objekten tov elkaar en niet voor meer complexe situaties ?

marcus

In plaats van drie bollen mag trouwens ook drie puntmassas op elk een meter afstand.

Per puntmassa 1 kg gerekend geeft ;

Zwaartekracht op A door B en C samen vanuit hun massamiddelpunt op 1,5 meter van A : 1*2*G/2,25=2/2,25 G

Of Zwaartekracht BA : G/1=G en BC: G/4=0,25 G Optellen van beide geeft een totale zwaartekracht van 1,25 G.

Phys

In plaats van drie bollen mag trouwens ook drie puntmassas op elk een meter afstand.

Gelukkig, dat rekent want eenvoudiger

Per puntmassa 1 kg gerekend geeft ;

Zwaartekracht op A door B en C samen vanuit hun massamiddelpunt op 1,5 meter van A : 1*2*G/2,25=2/2,25 G

Of Zwaartekracht BA : G/1=G en BC: G/4=0,25 G Optellen van beide geeft een totale zwaartekracht van 1,25 G.

Klopt. Laat ik meteen duidelijk zijn: het optellen van beide krachten afzonderlijk is de correcte berekening. De gravitatiewet geeft de gravitatiekracht tussen twee (punt)massa's, en de totale kracht op een voorwerp is de vectorsom (in dit geval, op een rechte lijn, is dat de 'gewone som') van alle afzonderlijke krachten.

Het vervangen van de twee massa's door een massa van 2kg op de 'gemiddelde afstand' is niet correct. Waarom? Tja, dat volgt direct uit diezelfde gravitatiewet:

\(\frac{m^2}{r^2}+\frac{m^2}{(2r)^2}\neq \frac{2m^2}{\left(\frac{3r}{2}\right)^2}\)

, zoals je al aantoonde. Ben je op zoek naar een meer 'verklarende' reden?

Phys

De constante G buiten beschouwing latend, stel dat de kracht gegeven zou worden door

F(m,r)=Mmr, met in dit geval M de massa van bol c, m de andere massa, en r de afstand ertussen.

Dan geldt F(m,r)+F(m,2r)=3Mmr, en F(2m,3r/2)=3Mmr, oftewel nu zou je redering correct zijn. Waarom? In dit geval is de kracht lineair in r: op twee keer zo grote afstand, is de kracht twee keer zo groot. Dus we kunnen de massa's vervangen door een dubbele massa op de gemiddelde afstand ('middelen' is linear: (m+m)/2).

Maar in werkelijkheid geldt F(m,r)=Mm/r^2, dus én de kracht neemt af (in plaats van toe) op grotere afstand, én dat gebeurt kwadratisch in r (in plaats van lineair).

marcus

Stel de bollen A en B zitten vast met een drup secondenlijm. Moet je in dat geval met het zwaartepunt werken van A en B ? Bol C zou dan verschil merken of zeg je dat je in zo,n geval ahw in gedachten de objekten ahw in schijfjes moet snijden (of zelfs per molecuul zou moeten rekenen

(immers als je tien moleculen in een bolletje bekijkt heb je hetzelfde effect ook. Reken met het zwaartepunt van het bolletje en de massa ervan of met die van elke afzonderlijke molecuul of atoom en je hebt al een verschil.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Gravitatieformule

Gravitatieformule

Re: Gravitatieformule

Re: Gravitatieformule

Re: Gravitatieformule

Re: Gravitatieformule

Re: Gravitatieformule

Re: Gravitatieformule

Re: Gravitatieformule

Re: Gravitatieformule

Re: Gravitatieformule

Re: Gravitatieformule

Re: Gravitatieformule

Re: Gravitatieformule

Re: Gravitatieformule