Wetenschapsforum

Vraagje naar aanleiding van de minicursus spec. rel. theorie, Les 5 (de foto van Einstein en de tekst eronder):

Als een wiel roteert met bijna de lichtsnelheid dan ondergaat de omtrek een lengtecontractie. De straal van het wiel staat loodrecht op de bewegingsrichting, deze lengte blijft dus gelijk. Hoe ziet dit wiel er uit voor een waarnemer die stilstaat. Omtrek=2*pie*straal geldt niet meer, welke vergelijking wel?

Eric

De omtrek is (1/gamma)*2*pi*r (met gamma=1/(sqr(1-v^2/c^2)).

Punten op de omtrek ondergaan een constante versnelling waarmee dit geval niet kan worden beschreven met speciale relativiteit alleen. De algemene relativiteit beschrijft versnelde situaties en gekromde ruimte-tijd. Eigenschappen van zo'n gekromde ruimte-tijd worden wiskundig vastgelegd in een zogenaamde metriek die in elk individueel punt voor elke richting die daarin mogelijk is (er zijn er natuurlijk 4) de "lengtemaat" aangeeft. In een vlakke ruimte heeft zo'n metriek voor elke richting de waarde 1 maar in een gekromde ruimte kan de waarde per richting (of combinatie van richtingen) afwijken van 1. De metriek van een ronddraaiend wiel vertoont min of meer soortgelijke eigenschappen als de metriek in een zwaartekrachtveld en wordt wel eens gebruikt om te verklaren waarom in een zwaartekrachtveld de tijd langzamer loopt. Dat is namelijk ook het geval op de omtrek van het ronddraaiende wiel.

Je zou simpel gesproken kunnen zeggen dat de metriek van het ronddraaiende wiel op elk punt in de richting van de straal de waarde 1 heeft en in de richting van de snelheid een lagere waarde en daarmee aangeeft dat de ruimtetijd van het ronddraaiende wiel gekromd is.

Ook bij een zwart gat spelen dergelijke vertekeningen van de lengtematen. Hier wordt de Schwarzschild metriek gebruikt die aangeeft dat in de buurt van het zwart gat tijd langzamer gaat maar ook dat de werkelijke "lokale" lengtemaat (dat is dus niet hetzelfde als de lengtemaat die een waarnemer op grote afstand denkt te zien) in de richting van het centrum van het zwart gat groter(!) wordt naarmate je het zwart gat meer nadert. Dat verklaart waarom het voor een waarnemer lijkt dat een voorwerp op enig moment stilstaat. Het voorwerp moet als het ware steeds meer "lokale" afstand afleggen naarmate het dichterbij komt totdat die afstand naar oneindig gaat en de snelheid daardoor 0 lijkt voor de waarnemer op afstand. De (ook weer lokaal) langzamer lopende tijd helpt daar ook nog een handje bij. Het voorwerp moet steeds meer afstand afleggen maar krijgt daar "steeds minder tijd" voor.