Exponentiële functie

Puntje

De 0+ begrijp ik wel (al kan ik het niet precies in woorden uitleggen). En gebruik je n als variabele omdat het daar eigenlijk over een andere limiet gaat en dus zo het verschil duidelijk wil maken?

Safe

0+ betekent dat je h van de positieve kant naar 0 laat naderen. Stel dan n=1/h en je krijgt de tweede limiet. Ga dat na.

Bij de tweede limiet kan je voor n positieve gehele getallen nemen, te beginnen met 1. Je krijgt dan een stijgende rij van getallen. Maar waarom krijgen we een limiet of grenswaarde?

Acquiesce

Safe schreef:Ik zou liever het zo schrijven:

\(\lim_{x \to 0+} (1+x)^{\frac{1}{x}} = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n = e\)
Begrijp je het verschil?

Deze limiet is nog niet zo eenvoudig want waarom zou zo'n getal e bestaan?

Ik vind dit een interessant topic en zou (ook) graag willen weten hoe je hiervoor een bewijs kunt leveren.

Betekent de eerste limiet niet gewoon dat voor kleine waarden van x de grafiek van f(x)=e^x en de raaklijn y=1+x vrijwel samenvallen?

Ik snap niet hoe je van de eerste limiet naar de tweede komt in jouw vergelijking, kun je mij op weg helpen?

Bvd

Safe

Ik snap niet hoe je van de eerste limiet naar de tweede komt in jouw vergelijking, kun je mij op weg helpen?

Dat heb ik in de post erboven aangegeven, ga dat na. Stel n=1/h.

Drieske

Stel n = 1/x, dan is x = 1/n en dus kun je dan beide getallen al vervangen. Omdat je eerst de limiet nam, voor x naar 0, wordt de limiet nu? Dus is de vraag: naar waar gaat n als x naar 0 gaat? Of nog: naar waar gaat 1/x als x naar 0 gaat?

Voor het bewijzen van de limiet: stel eerst

\(y = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \)

En neem dan links en rechts het logaritme, dus:

\(\ln(y) = \ln(\lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n )\)

\(= \lim_{n \to \infty} \ln\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \)

Kun je hiermee verder?

Safe

@Drieske:

Ik begrijp deze stap niet:

Drieske schreef:En neem dan links en rechts het logaritme, dus:

\(\ln(y) = \ln(\lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n )\)

Besef wel dat je hiermee gebruik maakt van het getal e, welke nu net bekeken wordt in de limiet.

Drieske

Safe schreef:@Drieske:

Ik begrijp deze stap niet:

Besef wel dat je hiermee gebruik maakt van het getal e, welke nu net bekeken wordt in de limiet.

Waar maak ik daar gebruik van het getal e? Ik definieer y als de limiet. Dan is ln(y) toch gelijk aan ln(lim...)? En dan ga ik vaststellen dat die ln(lim...) gelijk is aan 1. Of wat versta jij onder "bewijzen" van die limiet?

Safe

Wat is het grondtal van ln(...)?

Drieske

juist. Stom om daar nie aan te denken. Al vraag ik mij dan wel af hoe je dat gaat bewijzen... Want als ik het juist begrijp, moet je bewijzen dat die limiet naar een getal gaat dat we vanaf dan e noemen, en voor de rest weet je niets over e, ln, ...?

EDIT voor mij is het al opgelost. Ik dacht wel dat ik dat al es gezien had en wat zoekwerk in oude cursussen gaf mij gelijk

.

Acquiesce

Dat heb ik in de post erboven aangegeven, ga dat na. Stel n=1/h.

Check.

Bij de tweede limiet kan je voor n positieve gehele getallen nemen, te beginnen met 1. Je krijgt dan een stijgende rij van getallen. Maar waarom krijgen we een limiet of grenswaarde?

Volgens mij is dat omdat "n" zowel als noemer (in de breuk) en exponent voorkomt. Zodra "n" naar oneindig gaat wordt de waarde van de breuk heel klein (-> 0) terwijl de exponent tracht er een heel groot getal van te maken.

Hoe nu verder, of is dit al een bewijs?

Safe

Bereken voor n=1, 2, 3,... enkele termen van de rij die we bekijken,

We moeten eerst aantonen dat die rij stijgend is en ook begrensd, dan is de limiet die grens die we dan e zullen noemen.

Opm: limiet is in het Nederlands grens.

Drieske

Ter aanvulling op Safe zijn post: stijgend zijn kun je bewijzen door de verhouding van 2 opeenvolgende getallen te bekijken uit je rij. Dit lijkt mij iig de makkelijkste manier.

Voor begrensdheid, kun je het binomium van Newton gebruiken...

TD

Opm: limiet is in het Nederlands grens.

"Limiet" ís Nederlands

.

On topic: "bewijzen" dat die limiet e is, is een vaag gestelde vraag. Dat hangt af van je definitie van e.

- Als je nog geen definitie hebt, dan valt er helemaal niet te "bewijzen" dat die limiet e is. Het enige wat je dan kan doen, en ik vermoed dat Safe dat bedoelt, is bewijzen dat de limiet bestaat, en de limiet dan per definitie e noemen. Je definieert zo dus e...!

- Als je wel al een definitie hebt van e die verschillend is van deze limiet (anders is er niets te bewijzen), dan kan je gaan bewijzen dat de limiet die hier besproken wordt inderdaad overstemt met het getal e dat op een andere manier reeds gedefinieerd werd.

Acquiesce

Safe schreef:Bereken voor n=1, 2, 3,... enkele termen van de rij die we bekijken,

We moeten eerst aantonen dat die rij stijgend is en ook begrensd, dan is de limiet die grens die we dan e zullen noemen.

Opm: limiet is in het Nederlands grens.

Dit toont wel aan dat de rij stijgend is. Hoe kun je aantonen dat hij ook begrensd is? De getallen naderen wel steeds dichter "e" naarmate "n" groter wordt, maar is dit voldoende?

Puntje

TD schreef:"Limiet" ís Nederlands .

On topic: "bewijzen" dat die limiet e is, is een vaag gestelde vraag. Dat hangt af van je definitie van e.

- Als je nog geen definitie hebt, dan valt er helemaal niet te "bewijzen" dat die limiet e is. Het enige wat je dan kan doen, en ik vermoed dat Safe dat bedoelt, is bewijzen dat de limiet bestaat, en de limiet dan per definitie e noemen. Je definieert zo dus e...!

- Als je wel al een definitie hebt van e die verschillend is van deze limiet (anders is er niets te bewijzen), dan kan je gaan bewijzen dat de limiet die hier besproken wordt inderdaad overstemt met het getal e dat op een andere manier reeds gedefinieerd werd.

Hoe bedoel je dit precies?

\(\lim_{x \to 3} x^2 = 9\)

Hier hoef je die 9 toch ook niet te 'definieren' zeg maar? Bij bovenstaande limieten staat er e=2,718281828459... in plaats van 9.

Hieruit blijkt waarschijnlijk dat ik nog niet erg ver ben in de wiskunde.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Exponentiële functie

Re: Exponenti

Re: Exponenti

Re: Exponenti

Re: Exponenti

Re: Exponenti

Re: Exponenti

Re: Exponenti

Re: Exponenti

Re: Exponenti

Re: Exponenti

Re: Exponenti

Re: Exponenti

Re: Exponenti

Re: Exponenti

Re: Exponenti