-2 = 2?

SuperStalker

Ik was vandaag even aan het puzzelen, met kwadraten en wortels, en ik heb het volgende gevonden.

Gezien de inverse van een kwadraat de wortel is kan men veronderstellen dat:

\( x= \sqrt{x^{ 2}} \)

Stel dat x=-2

\( \sqrt{(-2)^{ 2}}=2 \)

Dus

\(2=-2\)

?

Mijn rekenmachine (TI-89) geeft mij gelijk.

Drieske

\( x= \sqrt{x^{ 2}} \)

Dit is niet waar... Hier moeten absolute waardes rond de x. Daardoor kom je ook tot die foute conclusie.

En hoezo geeft je rekenmachine je gelijk?

Zie ook hier voor meer daarover (en de rest van het topic).

317070

SuperStalker schreef:
\( \sqrt{(-2)^{ 2}}=2 \)

Dus
\(2=-2\)
?

Neen, de stap is als volgt:

\( \sqrt{(-2)^{ 2}}=2 \)

Dus

\(|-2|=2\)

Er geldt namelijk dat

\( \sqrt{x^{ 2}}=|x| \)

Jekke

Je maakt de volgende redeneerfout: zij operatie A de inverse operatie van de operatie B. Stel nu dat je eerst operatie B toepast op een getal en daarna op het resultaat daarvan operatie A: A(B(getal)). Het is niet juist te denken over deze materie dat operatie A operatie B "opheft". Dit is een gedachtengang die je kunt ontwikkelen door te spelen met symbolen. De juiste gedachtengang is dat B(x) een nieuw getal y is, van het getal x is nu geen sprake meer, als je nu A(y) doet krijg je weer een nieuw getal z waarvoor nu geldt dat z=x omdat A de inverse was van B.

Bij worteltrekking en kwadratering moet je echter voorzichtig zijn met te concluderen dat z=x omdat zij niet helemaal mekaars inverse zijn. Immers moet je 2 bedenkingen maken:

1) kwadratering beeldt x en -x beiden af op x²

2) je kunt geen wortel nemen van een negatief getal: worteltrekking kun je slechts toepassen op de helft van alle getallen

SuperStalker

317070 schreef:Neen, de stap is als volgt:

\( \sqrt{(-2)^{ 2}}=2 \)
Je maakt de volgende redeneerfout: zij operatie A de inverse operatie van de operatie B. Stel nu dat je eerst operatie B toepast op een getal en daarna op het resultaat daarvan operatie A: A(B(getal)). Het is niet juist te denken over deze materie dat operatie A operatie B "opheft". Dit is een gedachtengang die je kunt ontwikkelen door te spelen met symbolen. De juiste gedachtengang is dat B(x) een nieuw getal y is, van het getal x is nu geen sprake meer, als je nu A(y) doet krijg je weer een nieuw getal z waarvoor nu geldt dat z=x omdat A de inverse was van B.

Bij worteltrekking en kwadratering moet je echter voorzichtig zijn met te concluderen dat z=x omdat zij niet helemaal mekaars inverse zijn. Immers moet je 2 bedenkingen maken:

1) kwadratering beeldt x en -x beiden af op x²

2) je kunt geen wortel nemen van een negatief getal: worteltrekking kun je slechts toepassen op de helft van alle getallen
z=x?

Drieske

|-2| ?

Dat is het absolute waarde teken. Als je hier niet mee vertrouwd bent, lijkt het me verstandig een basisboek wiskunde bij de hand te nemen. Want de basis is een absolute must om verder te kunnen gaan.

Safe

Je moet uitgaan van de definitie van een (vierkants)wortel. Hoe luidt de definitie?

peterdevis

Binnen de reele getallen is de vierkantswortel enkel gedefinieerd voor positieve getallen en heeft steeds twee oplossingen nl een positieve en negatieve wortel maw:

\( \sqrt{x^{ 2}}= +x of -x \)

het volgende is dus niet correct als antwoord op de vraag( de vierkantswortel van 4 is 2 en -2)

\( \sqrt{x^{ 2}}=|x| \)

wel is het biovenstaande een vergelijking die steeds opgaat voor de reele getallen.

TD

peterdevis schreef:het volgende is dus niet correct als antwoord op de vraag( de vierkantswortel van 4 is 2 en -2)

\( \sqrt{x^{ 2}}=|x| \)

Nee, 'de' vierkantswortel zoals hierboven genoteerd in het linkerlid, is per definitie positief. Die van x² is |x|. De vergelijking x² = 4 heeft wel twee oplossingen, namelijk x = 2, x = -2. Je verwart deze twee, denk ik.

peterdevis

Inderdaad

Ik had beter even gechekd, maar de vierkantswortel is inderdaad gedefineerd als een positief getal, in tegenstelling wat ik dacht. Dank je wel TD om dit even recht te zetten.

TD

Geen probleem, we leren hier allemaal bij

.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

-2 = 2?

-2 = 2?

Re: -2 = 2?

Re: -2 = 2?

Re: -2 = 2?

Re: -2 = 2?

Re: -2 = 2?

Re: -2 = 2?

Re: -2 = 2?

Re: -2 = 2?

Re: -2 = 2?

Re: -2 = 2?