Breuken volgende getal benadering

Moderators: dirkwb, Xilvo

Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
Reageer

Bericht 24-06-'11, 14:31

FruitBasket

Berichten: 10

Breuken volgende getal benadering

Sorry voor de onbegrijpelijke titel maar ik kan hier geen naam voor verzinnen.

Ik zat laatst een beetje te rotzooien met mijn Grafische rekenmachine toen ik deze benadering vond:

_____________ 1____________ = 1/(N + 1)

N1 - N2 + N3 - N4 ====> NAfbeelding

dus als ik als N = 3 invul dan krijg ik bij deze benadering 1/4 uit.

Het nut ervan weet ik niet, maarja ik wil toch eigenlijk wel weten waarom dit zo is.

Zou iemand me willen uitleggen hoe en waarom deze formule werkt?
Omhoog

Bericht 24-06-'11, 16:10

Perseus

Berichten: 48

Re: Breuken volgende getal benadering

Ik denk dat er een foutje zit in je notatie. De juiste formule is
\(\frac{1}{1+N}= \frac{1}{N} - \frac{1}{N^2} +\frac{1}{N^3} + \cdots\quad\text{als $N > 1$ of $N < -1$},\)
en dat is een gevolg van de formule
\(\frac{1}{1+x}= 1 - x + x^2 - \cdots\quad\text{als $-1< x < 1$},\)
(stel
\($x=1/N$\)
) wat een toepassing is van de [wiki=nl]Stelling van Taylor[/wiki]. Het is een extreem belangrijke stelling uit de Analyse, want het laat je toe om (voldoende afleidbare) functies te schrijven als een reeksontwikkeling, zoals deze voorbeelden laten zien: "Taylorreeks" op Wikipedia(nl). Dat is trouwens de manier waarop je rekenmachine sinussen, logaritmen, enz. uitrekent.
Omhoog

Bericht 24-06-'11, 16:17

EvilBro

Berichten: 7.068

Re: Breuken volgende getal benadering

Stel dat de reeks die je geeft convergeert dan:
\(S = -\sum_{n = 1}^\infty (-N)^n = N-\sum_{n = 2}^\infty (-N)^n = N+N \cdot \sum_{n = 2}^\infty (-N)^{n-1}= N+N \cdot \sum_{m = 1}^\infty (-N)^m = N-N \cdot S\)
\(S + N \cdot S = S (1 + N) = N\)
\(S = \frac{N}{1+N}\)
Dit is dus sowieso al anders dan dat jij geeft. Verder geldt dit alleen als de reeks convergeert en dat is voor N=3 niet het geval. Misschien bedoelde je N=1/3:
\(S = \frac{\frac{1}{3}}{1+\frac{1}{3}} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{3}{3}+\frac{1}{3}} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{4}{3}} = \frac{1}{4}\)
Omhoog

Bericht 24-06-'11, 19:40

FruitBasket

Berichten: 10

Re: Breuken volgende getal benadering

Volgens mij ben ik niet erg goed met uitleggen

N>1 of N<-1 bij mijn formule die was ik inderdaad vergeten

dankje perseus, ik had nog niet op de waarden tussen 1 en -1 gelet. En grappig om te weten:P dat had ik nou net weer niet verwacht dat het zoveel gebruikt zou worden.

Perseus bedoel je trouwens
\(\frac{x}{1 + x}\)
inplaats van
\(\frac{1}{1 + x}\)
?

EvilBro... Ik zit nog maar in de 5de en heb nog niet zoveel stof over sigma's gehad. Zou je er misschien wat meer uitleg bij willen geven? Ik snap wat je hebt gedaan:D maar ik heb nog steeds moeite met de sigma's te verwerken.

De sigma's zijn een soort van shorcut voor een perfecte benadering?

Maar ik mijn som convergeert wel(als ik het begrip goed begrijp) Jouw benadering is voor waardes van -1 < N < 1

terwijl die van mij N > 1 en N < -1

en nu... moet ik even pizza eten

hartstikke bedankt:D nu begrijp ik het wat beter en heb ook weer eens lekker na kunnen denken
Omhoog

Bericht 25-06-'11, 10:28

EvilBro

Berichten: 7.068

Re: Breuken volgende getal benadering

De som die ik eerder gaf was voor de noemer van wat jij schreef. Ik denk nu echter dat wat je schreef niet is wat je bedoelde, maar dat je bedoelde wat Perseus schreef. Je kan de N in mijn verhaal vervangen door (1/a) en dan komt er hetzelfde uit als bij Perseus.

De sigma staat voor som:
\(\sum_{k=1}^R f_k = f_1 + f_2 + f_3 + \cdots + f_{R-1} + f_{R}\)
Omhoog

Bericht 25-06-'11, 19:09

FruitBasket

Berichten: 10

Re: Breuken volgende getal benadering

Dat klopt. Ik schrijf altijd dingen verkeert op...

Maar toch heel erg bedankt voor deze uitleg:p en de volgende keer als ik iets heb zal ik het wel goed opschrijven... hoop ik
Omhoog
Reageer

Terug naar “Wiskunde”