Ik dacht je schrijft
Wortels van complexe getallen
Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
-
- Berichten: 14
Wortels van complexe getallen
Ik ben nu bezig met complexe getallen, en wel het vinden van wortels ervan met behulp van de stelling van d'Moivre:
Ik dacht je schrijft
\(z^n=[r^n(\cos{n\theta}+i\sin{n\theta}]\)
Welnu, het boek geeft een voorbeeld om de zesde-machts wortels van \(z=8i\)
te vinden. Maar wat nu als die \(z\)
niet \(z\)
is, maar bijv. \(\frac{1+i}{z} = 8i\)
?Ik dacht je schrijft
\(z = \frac{1+i}{8i} = \frac{1+i}{8i}*\frac{-8i}{-8i} = \frac{8+8i}{64} = \frac{1}{8}(1+i)\)
. Dus \(z = r(\cos{n\theta}+i\sin{n\theta}\)
met \(r = \frac{1}{8}\sqrt{2}\)
en \(\theta = \frac{1}{4}\pi\)
Maar mag je dat zomaar doen? Omdat je toch eigenlijk oplost: \( \left(\frac{1+i}{z}\right)^3=8i\)
?- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: Wortels van complexe getallen
Bedoel je het oplossen van de verg: z^6=8iTheAmassama schreef:Ik ben nu bezig met complexe getallen, en wel het vinden van wortels ervan met behulp van de stelling van d'Moivre:
\(z^n=[r^n(\cos{n\theta}+i\sin{n\theta}]\)Welnu, het boek geeft een voorbeeld om de zesde-machts wortels van\(z=8i\)te vinden. Maar wat nu als die\(z\)niet\(z\)is, maar bijv.\(\frac{1+i}{z} = 8i\)?
Ik dacht je schrijft\(z = \frac{1+i}{8i} = \frac{1+i}{8i}*\frac{-8i}{-8i} = \frac{8+8i}{64} = \frac{1}{8}(1+i)\). Dus\(z = r(\cos{n\theta}+i\sin{n\theta}\)met\(r = \frac{1}{8}\sqrt{2}\)en\(\theta = \frac{1}{4}\pi\)Maar mag je dat zomaar doen? Omdat je toch eigenlijk oplost:\( \left(\frac{1+i}{z}\right)^3=8i\)?
En dan het oplossen van w^6=8i met w=(1+i)/z
-
- Berichten: 14
Re: Wortels van complexe getallen
Ja precies, die 3 op de laatste regel moet natuurlijk een 6 zijn, ik kon mn bericht echter niet op tijd editten.
Maar het klopt wat jij zegt idd.
Maar het klopt wat jij zegt idd.
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: Wortels van complexe getallen
Je kan dan uitgaan van de opl die je al hebt van de eerste verg,TheAmassama schreef:Ja precies, die 3 op de laatste regel moet natuurlijk een 6 zijn, ik kon mn bericht echter niet op tijd editten.
Maar het klopt wat jij zegt idd.
Je kan ook de nieuwe verg oplossen:
\(z^6=\frac{(1+i)^6}{8i}\)
Ga dit zorgvuldig na.-
- Berichten: 112
Re: Wortels van complexe getallen
Voor ^3 ipv ^6 had ik dit gedaan:
Eerst 8i omschrijven in de e-macht van Z:
8i = 8(cos pi/2 + i sin pi/2) = 8ei pi/2
Daar de derde-machts wortel van trekken waardoor je uiteindelijk krijgt:
2ei pi/6
En dat kan je dan weer omschrijven in de a+bi vorm.
Eerst 8i omschrijven in de e-macht van Z:
8i = 8(cos pi/2 + i sin pi/2) = 8ei pi/2
Daar de derde-machts wortel van trekken waardoor je uiteindelijk krijgt:
2ei pi/6
En dat kan je dan weer omschrijven in de a+bi vorm.
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: Wortels van complexe getallen
Dat moet zijn:8i = 8(cos pi/2 + i sin pi/2) = 8ei pi/2
\(8i = 8(\cos( \pi/2) + i \sin (\pi/2)) = 8e^{i \pi/2+k\cdot 2\pi i}\)
-
- Berichten: 112
Re: Wortels van complexe getallen
Ja dat klopt, alleen dat laatste i-tje weg toch?
- Berichten: 7.390
Re: Wortels van complexe getallen
Nesta, hoeveel is
\(e^{2k \pi i}, k \in \zz\)
?"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.
-
- Berichten: 112
Re: Wortels van complexe getallen
Bedoel je omgeschreven in gewoon complex getal?
ei2pi = i
Wat er met de k gebeurt weet ik niet zeker.
ei2pi = i
Wat er met de k gebeurt weet ik niet zeker.
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: Wortels van complexe getallen
Vul dit eens in in de Moivre (met k).Nesta schreef:Bedoel je omgeschreven in gewoon complex getal?
ei2pi = i
Wat er met de k gebeurt weet ik niet zeker.
-
- Berichten: 112
Re: Wortels van complexe getallen
ei2kpi = cos (k*2pi) + isin(k*2pi) = i toch?
- Berichten: 7.390
Re: Wortels van complexe getallen
Voor welke waarden van het argument is een sinus 0? En een cosinus?
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.
- Berichten: 7.390
Re: Wortels van complexe getallen
En de gehele veelvouden? Die toch ook? Welke trm wordt 0 in bericht 12?
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.