Beste,
Mag ik er van uit gaan dat als een verzameling aftelbaar is bv: de natuurlijke getallen N. Dat deze verzameling dan aftelbaar is in al haar dimensies nl.
N x N
N x N x N
N x N x N x N ...
Alvast bedankt!
Laatste berichten
-
23:12
speciale rel. theorie 10
-
22:57
Straatklok loopt 5 minuten voor 11
-
22:57
wig 6
-
22:36
Gravity and gravitation 4
-
22:24
[scheikunde] vraag Chemie - wat is de oplossing? 10
-
19:47
Bruine vlekken op treinaanwijzerbord 10
-
19:44
Vogels in de stad zijn goede klussers 2
-
19:12
Rood laserlicht 3
-
17:30
Herleiden afmetingen vanaf een foto 21
-
16:34
[wiskunde] Prijs Product per KG; Alternatief Inzicht 3
-
13:57
do-re-mi-fa-so vliegtuigen 9
-
13:16
geen minkowski-ruimte toch? Doe ik dit nou fout? 17
-
13:12
[natuurkunde] kroon van koning op Syracuse 10
-
10:15
2013 – Augustus Vraag 3 3
-
24 apr
Vraag 2009 Juli Vraag 5 5
-
24 apr
positie 2
-
24 apr
Schroefdraad berekening 8
-
24 apr
[scheikunde] Kan chloorgas de geleiding van elektriciteit belemmeren? 9
-
23 apr
Weerfrustratie 9
-
23 apr
Kunnen quantum Zonnecellen 190% quantum efficiënt zijn 3
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
Aftelbaarheid
Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
-
- Berichten: 24.578
Re: Aftelbaarheid
Wat bedoel je verder met die puntjes? Voor het cartesisch product van een eindig aantal aftelbare verzamelingen, zoals N, is dat inderdaad waar.
Voor een aftelbaar aantal gaat dit niet meer op; in tegenstelling tot bij unies (de unie van een aftelbaar aantal aftelbare verzamelingen, is weer aftelbaar).
Voor een aftelbaar aantal gaat dit niet meer op; in tegenstelling tot bij unies (de unie van een aftelbaar aantal aftelbare verzamelingen, is weer aftelbaar).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 27
Re: Aftelbaarheid
Inderdaad over een eindig aantal. Hoe zou je dat kunnen aantonen d.m.v. een bijectie? Bij N x N , kan je gebruik maken van een matrix, moet je bij meerdere dimensies dan een tabel doorlopen?
-
- Berichten: 10.179
Re: Aftelbaarheid
Ik geef je een idee voor het cartesisch product van 2. Beschouw de functie:
\(f: \mathbb{N} \times \mathbb{N} \to: \mathbb{N}: (n, m) \mapsto 2^n 3^m\)
. Zie je dat dit een bijectie is? Kun je veralgemenen?Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
-
- Berichten: 24.578
Re: Aftelbaarheid
Je zou dat bewijs kunnen proberen te veralgemenen. Een andere typisch bewijs maakt gebruik van de unieke priemontbinding.Inderdaad over een eindig aantal. Hoe zou je dat kunnen aantonen d.m.v. een bijectie? Bij N x N , kan je gebruik maken van een matrix, moet je bij meerdere dimensies dan een tabel doorlopen?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 27
Re: Aftelbaarheid
Inderdaad, bij elke dimensie kan je een nieuw priemgetal toevoegen tot een bepaalde macht, dit geeft telkens een uniek getal. Heb je hiermee dan ook bewezen dan het eindig cartesisch product van Q bestaat? Aangezien elk getal uit Q kan geschreven worden als een koppel gehele getallen. In Q x Q kan je dan een koppel van 4 getallen nemen waarvan je weet dat die verzameling aftelbaar is omdat N x N x N x N aftelbaar is?
-
- Berichten: 24.578
Re: Aftelbaarheid
Ja, zelf meer algemeen: elk cartesisch product van een eindig aantal aftelbare verzamelingen, is aftelbaar. Elke aftelbare verzameling is immers bijectief met N, dus het volstaat om het te tonen voor Nk, zoals hierboven.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 10.179
Re: Aftelbaarheid
Het is inderdaad wat TD al zegt. Wil je toch een explicietere afbeelding, dan gaat dat zo: zeg X1, ..., Xn allen aftelbaar. Definieer dan
\(f_i: X_i \to \mathbb{N}\)
voor alle i. Dan is \(h: X_1 \times \cdots \times X_n \to \mathbb{N}: (a_1, \cdots, a_n) \mapsto p_1^{f_1(a_1)} \cdots p_n^{f_n(a_n)}\)
een bijectie.Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
-
- Berichten: 5.679
Re: Aftelbaarheid
Kanttekening: wel injectief, maar niet surjectief, dus ook niet bijectief.. 5 behoort bijvoorbeeld niet tot het beeld van f. Maar da's hier verder niet heel belangrijk, een injectieve functie volstaat reeds om de aftelbaarheid vanIk geef je een idee voor het cartesisch product van 2. Beschouw de functie:\(f: \mathbb{N} \times \mathbb{N} \to: \mathbb{N}: (n, m) \mapsto 2^n 3^m\). Zie je dat dit een bijectie is? Kun je veralgemenen?
\(\nn\times\nn\)
aan te tonen.In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.
-
- Berichten: 5.679
Re: Aftelbaarheid
Nog een alternatieve benadering voor hogerdimensionale cartesische producten:
Als
Als
\(\nn\times\nn\)
aftelbaar is, d.w.z. je hebt een injectieve functie \(f:\nn\times\nn\rightarrow\nn\)
, dan is \(\nn\times\nn\times\nn\)
ook aftelbaar, middels de functie \(g(x,y,z) = f(f(x,y),z)\)
. Datzelfde kun je herhaaldelijk toepassen voor hogere dimensies.In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.
-
- Berichten: 10.179
Re: Aftelbaarheid
Inderdaad een terechte opmerking 
! Te rap geweest in het typen.
-edit- aanvullend ter verduidelijking voor TS: injectief volstaat omdat dit gewoon betekent dat niet alles van N bereikt wordt, maar een deelverzameling. En een deelverzameling van iets aftelbaars is zelf ook aftelbaar.
! Te rap geweest in het typen.-edit- aanvullend ter verduidelijking voor TS: injectief volstaat omdat dit gewoon betekent dat niet alles van N bereikt wordt, maar een deelverzameling. En een deelverzameling van iets aftelbaars is zelf ook aftelbaar.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
-
- Berichten: 4.320
Re: Aftelbaarheid
Mij lijkt het gewoon aftelbaar via de diagonaal methode van Cantor net zoals de aftelbaarheid van Q wordt bewezen.barrelhouse schreef:Beste,
Mag ik er van uit gaan dat als een verzameling aftelbaar is bv: de natuurlijke getallen N. Dat deze verzameling dan aftelbaar is in al haar dimensies nl.
N x N
N x N x N
N x N x N x N ...
Alvast bedankt!
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.
-
- Berichten: 4.320
Re: Aftelbaarheid
Het moet het late uur geweest zijn maar bovenstaande is niet goed bedenk ik me nu.Mij lijkt het gewoon aftelbaar via de diagonaal methode van Cantor net zoals de aftelbaarheid van Q wordt bewezen.
Het geldt wel voor een eindig aantal N*N*....*N, dan kan het herhaald worden toegepast maar niet persé voor een oneindig aantal.
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.
-
- Berichten: 24.578
Re: Aftelbaarheid
Meer nog: met een diagonaalargument à la Cantor kan je tonen dat het niet meer aftelbaar is, als je een aftelbaar aantal kopies van N in een cartesisch product neemt.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
