Vraagje...
Hoe kun je aan een differentiaal vergelijking zien welke "vorm" het is:...
Bernouilli, anderen, ...?
wat is de eigenschap van een vgl van Bernouilli ? Onderscheid tussen andere vergelijkingen ?
vb: df/dt = af - af²
zou naar het schijnt een vgl van Bernouilli moeten zijn, .. maar waarom ?
en nog even belangrijk: Hoe losje dit eenvoudig op...
eens porberen:
df/dt = af - af²
df/dt - af = -af²
[Is het altijd de hoogste macht die je langst laat staan en ermee deelt ???]
df/dt.(1/f²) - af/f² = -a
df/dt.(1/f²)- a/f = -a (*)
stel z = 1/f dan wordt z' = -1/f² ; -z' = 1/f²
de vergelijking wordt dan:
-z' - az = -a (*) of
z' + az = a (eerste orde D.V.)
de vraag is nu waarom die df/dt wegvalt ... in (*)
AO = ...
PO = ...
Laatste berichten
-
20:14
Aardlek-schakelaar 2
-
19:55
wig 9
-
15:56
Programmeren met vectoren 6
-
14:53
Straatklok loopt 5 minuten voor 12
-
23:12
speciale rel. theorie 10
-
22:36
Gravity and gravitation 4
-
22:24
[scheikunde] vraag Chemie - wat is de oplossing? 10
-
25 apr
Bruine vlekken op treinaanwijzerbord 10
-
25 apr
Vogels in de stad zijn goede klussers 2
-
25 apr
Rood laserlicht 3
-
25 apr
Herleiden afmetingen vanaf een foto 21
-
25 apr
[wiskunde] Prijs Product per KG; Alternatief Inzicht 3
-
25 apr
do-re-mi-fa-so vliegtuigen 9
-
25 apr
geen minkowski-ruimte toch? Doe ik dit nou fout? 17
-
25 apr
[natuurkunde] kroon van koning op Syracuse 10
-
25 apr
2013 – Augustus Vraag 3 3
-
24 apr
Vraag 2009 Juli Vraag 5 5
-
24 apr
positie 2
-
24 apr
Schroefdraad berekening 8
-
24 apr
[scheikunde] Kan chloorgas de geleiding van elektriciteit belemmeren? 9
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
Differentiaalvergelijking (Bernouilli)
Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
-
- Berichten: 9.240
Re: Differentiaalvergelijking (Bernouilli)
Het heet een Bernoulli differentiaal vergelijking omdat deze beste man de gene was die er een oplossing voor heeft gevonden.
Je zoekt dus als het ware de diff vergelijking op in een lijst en gebruik de oplossingsmethode die daar aangegeven staat.
df/dt (of f' ) valt niet weg, je vervangt het door z'
volgens mij is de volgende stelling van jou niet helemaal correct:
stel z = 1/f dan wordt z' = -1/f² ; -z' = 1/f²
ik moet wel zeggen, diff vergelijkingen zijn voor mij ook nog erg moeilijk, maar ook erg belangrijk.
Je zoekt dus als het ware de diff vergelijking op in een lijst en gebruik de oplossingsmethode die daar aangegeven staat.
df/dt (of f' ) valt niet weg, je vervangt het door z'
volgens mij is de volgende stelling van jou niet helemaal correct:
stel z = 1/f dan wordt z' = -1/f² ; -z' = 1/f²
ik moet wel zeggen, diff vergelijkingen zijn voor mij ook nog erg moeilijk, maar ook erg belangrijk.
-
- Berichten: 24.578
Re: Differentiaalvergelijking (Bernouilli)
Hier kan je lezen hoe je een algemene DV van bernouilli herleidt naar een lineaire eerste orde DV, jouw voorbeeld is er een speciaal geval van.
http://mathworld.wolfram.com/BernoulliDiff...alEquation.html
http://mathworld.wolfram.com/BernoulliDiff...alEquation.html
-
- Berichten: 130
Re: Differentiaalvergelijking (Bernouilli)
Nu weet ik ook wel dat dat een toffe man was die daar zijn naam heeft aangegeven, maar hioe kun je nu efectief een Bernouilli DV herkennen !!!! hoe kan je zien dat je ze op die manier, van hem dus, moet uitwerken ?????
maar is mijn uitwerking correct... ???
zoniet zou je ze kunnen verbeteren en verder aanvullen ?
thx
maar is mijn uitwerking correct... ???
zoniet zou je ze kunnen verbeteren en verder aanvullen ?
thx
-
- Berichten: 24.578
Re: Differentiaalvergelijking (Bernouilli)
Dit geval is nog betrekkelijk eenvoudig en kan gerust zonder die substitutie.
df/dt = af - af²
df/dt = a(f-f²)
df/(f-f²) = adt
df/(f(1-f)) = adt
df/f - df/(f-1) = adt
(df/f - df/(f-1)) = 
adt
ln(f) - ln(f-1) = at + c
ln((f-1)/f) = -at + c
(f-1)/f = ce-at
1-1/f = ce-at
f = 1/(1-ce-at)
Klein detail: mijn c is niet de hele tijd dezelfde c, zo werd ec een nieuwe constante die ik voor het gemak opnieuw c heb genoemd.
df/dt = af - af²
df/dt = a(f-f²)
df/(f-f²) = adt
df/(f(1-f)) = adt
df/f - df/(f-1) = adt
(df/f - df/(f-1)) = adtln(f) - ln(f-1) = at + c
ln((f-1)/f) = -at + c
(f-1)/f = ce-at
1-1/f = ce-at
f = 1/(1-ce-at)
Klein detail: mijn c is niet de hele tijd dezelfde c, zo werd ec een nieuwe constante die ik voor het gemak opnieuw c heb genoemd.
-
- Berichten: 130
Re: Differentiaalvergelijking (Bernouilli)
ja goed .. dat is idd een oplossing...
maar ik had graag de goede uitwerkinge gehad van Bernouilli...
(EN WAARAAN HERKEN JE DIT DAT JE BERNOUILLI MOET/KAN GEBRUIKEN ? )
mvg,
maar ik had graag de goede uitwerkinge gehad van Bernouilli...
(EN WAARAAN HERKEN JE DIT DAT JE BERNOUILLI MOET/KAN GEBRUIKEN ? )
mvg,
-
- Berichten: 24.578
Re: Differentiaalvergelijking (Bernouilli)
Je herkent Bernoulli aan het feit dat de DV van de vorm a(x)y' + b(x)y = d(x)ym is.
Voor m = 0 of m = 1 is de vergelijking lineair, met m = 2 heb je net een alternatieve oplosmethode gezien.
In het algemeen gaan we verder met de substitutie z = y1-m z' = (1-m)y/ym.
De algemene vergelijking die ik eerder vernoemde gaat dan over in a(x)z'/(1-m) + b(x)z = d(x) en dat is een lineaire vergelijking.
Toegepast op jouw voorbeeld vind je dan inderdaad:
-z' - az = -a z² + az = a
Let wel: als je z = 1/f stelt, dan is z' = -f'/f².
Voor m = 0 of m = 1 is de vergelijking lineair, met m = 2 heb je net een alternatieve oplosmethode gezien.
In het algemeen gaan we verder met de substitutie z = y1-m
z' = (1-m)y/ym.De algemene vergelijking die ik eerder vernoemde gaat dan over in a(x)z'/(1-m) + b(x)z = d(x) en dat is een lineaire vergelijking.
Toegepast op jouw voorbeeld vind je dan inderdaad:
-z' - az = -a
z² + az = aLet wel: als je z = 1/f stelt, dan is z' = -f'/f².
-
- Berichten: 130
Re: Differentiaalvergelijking (Bernouilli)
ha als je storingsfunctie dus ook de term bevat zoals je d/dt term bevat dan hebben we Bernouilli....
waarom is z' = -f'/f².....? vanwaar komt die f' nog opeens...
die z' is toch de afgeleide nemen niet ?
waarom is z' = -f'/f².....? vanwaar komt die f' nog opeens...
die z' is toch de afgeleide nemen niet ?
-
- Berichten: 24.578
Re: Differentiaalvergelijking (Bernouilli)
Ja, maar zowel z als f hangen van je veranderlijke af, bijvoorbeeld x.
Afleiden met de kettingregel levert dan:
Als z(x) = 1/f(x) dan is d/dx z(x) = d/dx 1/f(x) = -f'(x)/f(x)²
Afleiden met de kettingregel levert dan:
Als z(x) = 1/f(x) dan is d/dx z(x) = d/dx 1/f(x) = -f'(x)/f(x)²
-
- Berichten: 130
Re: Differentiaalvergelijking (Bernouilli)
dus die f'(x) komt van d/dx...
als k t goed snap...
maar der staat dat z = 1/f... dan moet er toch staan voor z' = (1/f)' ... niet ??
of heb k de verkeerde manier van denken voor...
tot en met z gelijk stellen aan z= 1/f benk mee...
maar in die vgl staat ook ziets nog van 1/f²... moet je daar dan de afgeleide van berekenen of de afgeleide van : d(df/dt) . d(1/f²)...
moet jet dan zo doen: de afgeleide nemen van df/dt en de afgeleide van 1/f² ?
mvg
als k t goed snap...
maar der staat dat z = 1/f... dan moet er toch staan voor z' = (1/f)' ... niet ??
of heb k de verkeerde manier van denken voor...
tot en met z gelijk stellen aan z= 1/f benk mee...
maar in die vgl staat ook ziets nog van 1/f²... moet je daar dan de afgeleide van berekenen of de afgeleide van : d(df/dt) . d(1/f²)...
moet jet dan zo doen: de afgeleide nemen van df/dt en de afgeleide van 1/f² ?
mvg
-
- Berichten: 24.578
Re: Differentiaalvergelijking (Bernouilli)
Het verschil zit in het feit dat f een (verder onbekende) functie van x is. De afgeleide van 1/x is inderdaad gewoon -1/x², maar hier moet je de kettingregel nog toepassen!
d(1/f(x))/dx = d(1/f(x))/df(x) * df(x)/dx = -1/f(x)² * f'(x) = -f'(x)/f(x)²
d(1/f(x))/dx = d(1/f(x))/df(x) * df(x)/dx = -1/f(x)² * f'(x) = -f'(x)/f(x)²
-
- Berichten: 130
Re: Differentiaalvergelijking (Bernouilli)
hazo...
bij de afgeleide van 1/f(x) moet je de kettingregel toepassen
en bij de afgeleide van 1/f, niet.. oftewel d(1/f) = -1/f²...$
als k het goed begrijp.
maar waaraan weet je of zie je dat f functie van x is ( f(x) )...?
In mijn oplossing staat er toch: 1/f.df/dt - 1/f² = ...hoe weet je dat die afhangt van x... ?
of is het omdat er staat df/dt...?
niet ?
bij de afgeleide van 1/f(x) moet je de kettingregel toepassen
en bij de afgeleide van 1/f, niet.. oftewel d(1/f) = -1/f²...$
als k het goed begrijp.
maar waaraan weet je of zie je dat f functie van x is ( f(x) )...?
In mijn oplossing staat er toch: 1/f.df/dt - 1/f² = ...hoe weet je dat die afhangt van x... ?
of is het omdat er staat df/dt...?
niet ?
-
- Berichten: 24.578
Re: Differentiaalvergelijking (Bernouilli)
Normaalgezien hoort dat gegeven te zijn. Ik had beter in m'n voorbeeld de veranderlijke t genomen, ik zie nu dat dat zo was in de oorspronkelijke vergelijking. Vergeet dus even de x (alhoewel de bedoeling van het hele ding wel evenzeer klopt als x de veranderlijke is).
We starten met een DV die we willen oplossen naar f, waar f een functie van t is - dus f(t). In onze substitutie gaan we over op z, die dat ook van t afhangt z(t). Hoewel er in de oospronkelijke opgave gewoon verkort "f" genoteerd staat, is het dus eigenlijk f(t). Gewoonlijk bij DV's in y en x zie je ook enkel y genoteerd voor y(x).
We starten met een DV die we willen oplossen naar f, waar f een functie van t is - dus f(t). In onze substitutie gaan we over op z, die dat ook van t afhangt z(t). Hoewel er in de oospronkelijke opgave gewoon verkort "f" genoteerd staat, is het dus eigenlijk f(t). Gewoonlijk bij DV's in y en x zie je ook enkel y genoteerd voor y(x).
