Regels voor limieten
Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
-
- Berichten: 546
Regels voor limieten
Ik ben bezig aan een cursus multivariabele calculus en ben aangekomen bij partiele afgeleiden, de kettingregel voor meerdere variabelen etc. etc.
Nu wilde ik graag zelf een formeel bewijs geven van de stelling dat
fxy = fyx
Het bewijs was nou niet echt elegant en een hoop geschrijf, maar ik ben er wel van overtuigd dat het klopt. Ik heb echter een paar aannames gedaan over limieten waarvan ik niet weet of ze altijd gerechtvaardigd zijn. Kan iemand mij vertellen onder welke voorwaarden de volgende regels gelden?
1. limx ->a (f(x)) + limx->a (g(x)) = limx->a (f(x) + g(x))
2. k . limx->a (f(x)) = limx->a (k . f(x))
3. limx->a(limy->b(f(x,y))) = limy->b(limx->a(f(x,y)))
Bij voorbaat dank!
Nu wilde ik graag zelf een formeel bewijs geven van de stelling dat
fxy = fyx
Het bewijs was nou niet echt elegant en een hoop geschrijf, maar ik ben er wel van overtuigd dat het klopt. Ik heb echter een paar aannames gedaan over limieten waarvan ik niet weet of ze altijd gerechtvaardigd zijn. Kan iemand mij vertellen onder welke voorwaarden de volgende regels gelden?
1. limx ->a (f(x)) + limx->a (g(x)) = limx->a (f(x) + g(x))
2. k . limx->a (f(x)) = limx->a (k . f(x))
3. limx->a(limy->b(f(x,y))) = limy->b(limx->a(f(x,y)))
Bij voorbaat dank!
- Berichten: 24.578
Re: Regels voor limieten
Als de twee afzonderlijke limieten (in het linkerlid) bestaan, dan geldt de gelijkheid.
Als de limiet van f (in het linkerlid) bestaat, dan geldt de gelijkheid (met k een reëel getal).
Dit is al veel subtieler: in het algemeen mag je de volgorde van het nemen van limieten niet verwisselen.
Als de dubbele limiet
\(\lim_{(x,y)\to (a,b)} f(x,y) = L\)
bestaat (in dit voorbeeld met limiet L), dan bestaan beide limieten die jij noteert ook en ze zijn beide L. Dit is een voldoende maar geen nodige voorwaarde, het is een behoorlijk 'strenge eis'."Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)