[wiskunde] 'achter d-teken'

Jeroen

Ik heb een aantal integralen bij een opdracht en die moet ik oplossen met 'achter het d-teken brengen'.

Ik heb ze allemaal wel op kunnen lossen met substitutie, maar achter het d-teken zetten is veel sneller, maar het lukt me maar niet.

Kan iemand mij stap voor stap de volgende integraal uitleggen (dmv achter het d-teken).

int. x*(x²+1)³*dx

Misschien na een goed voorbeeld dat de volgende me ook lukken.

PeterPan

x(x²+1)³ dx =

(x²+1)³ d(x²/2) =

(x²+1)³/2 d(x²) =

(x²+1)⁴/8

TD

Het 'achter de d' brengen komt eigenlijk op hetzelfde neer als een substitutie, alleen voer je niet expliciet een nieuwe veranderlijke in. De uitdrukking achter de d is de integratieveranderlijke, standaard x. Als je daar iets aan wijzigt, dan is ook je integratieveranderlijke anders en dat is dus in principe een substitutie, alleen nu zonder 'nieuwe naam'.

Stel je hebt een integraal waarin een functie van x voorkomt en ook de afgeleide functie. Met een klassieke substitutie gaat het dan zo:

\(\begin{array}{l} \int {f\left( x \right)f'\left( x \right)dx \to y = f\left( x \right) \Leftrightarrow dy = f'\left( x \right)dx} \Rightarrow \int {ydy} = \frac{{y^2 }}{2} + C = \frac{{f\left( x \right)^2 }}{2} + C \end{array}\)

Terwijl je ook die f'(x) binnen de d kon brengen, je moet dan namelijk overgaan op de primitieve functie ("buiten d brengen" is immers differentiëren). Dan krijgen we:

\(\int {f\left( x \right)f'\left( x \right)dx} = \int {f\left( x \right)d\left( {f\left( x \right)} \right)} = \frac{{f\left( x \right)^2 }}{2} + C\)

Zoals je ziet hetzelfde, maar zonder de tussenstappen voor de nieuwe veranderlijke dus in veel gevallen inderdaad sneller.

aadkr

PeterPan, bij jouw oplossing staat er achter het d teken x^2

dit moet tog eigenlijk ( x^2+1) zijn.

Want je maakt gebruik van de grongintegraal Int. z^(n) . dz=1/(n+1) .z^(n+1)

Het antwoord is uiteraard goed.

TD

Dat is een 'tussenstap' die hij laat vallen, zou ik ook doen maar misschien niet in dit geval omdat Jeroen het nog moet leren.

Een constante mag je er altijd bijtellen, dat verandert niets.

Jeroen

Dankje, dat was een goede uitleg. Ik heb ze nu achterelkaar kunnen maken. Ik had toch gewoon even een zetje in de goede richting nodig.

Ik zit alleen nog wel met een andere opdracht en die is wel lastig:

int. (x²+3x+4)/(2x-1) *dx

substitueer u=2x-1

In de les zei mn docent iets hierover en toen dacht ik 'oh ja!'

Ik ben die 'oh ja!' alleen kwijt....

TD

Ik weet niet welke 'oh ja' je zoekt, maar we hebben \(u = 2x - 1 \Leftrightarrow x = \left( {u + 1} \right)/2\). De integraal gaat dan over in:

\(\int {\frac{{2x^2 + 3x + 4}}{{2x - 1}}dx} \mathop \to \limits_{dx = 1/2du}^{x = \left( {u + 1} \right)/2} \frac{1}{2}\int {\frac{{u^2 + 8u + 23}}{{4u}}} du = \int {\frac{u}{8}du} + \int {\frac{{23}}{{8u}}du} + \int {du} \)

Jeroen

ja nu zie ik weer waarom ik oh ja zei.

ik moest voor x, (u+1)/2 invullen, dat had ik niet eens gezien.

Ik was ondertussen weer even verder gegaan en ben bij integralen met machten van sin en cos.

Nu stond er in het antwoordboekje een uitwerking die ik niet helemaal kon volgen:

int. sin²*dx

= int. 1/2*(1-cos(2x))*dx ->dit is gewoon een gonioregeltje

= 1/2 int. dx - 1/2 int. cos(2x)*1/2d(2x) ->1-cos(2x) buiten haakjes

halen, maakt 2 integralen.

dit kon ik nog wel volgen, maar dat tweede integraal heeft een 1/2 voor het integraal staan en voor het d-teken. Toch laten ze bij de oplossing een 1/2 weg:

1/2x -1/2 sin(2x) +c

moet dat dan niet -1/4 sin(2x) worden?

Safe

Jeroen schreef:ja nu zie ik weer waarom ik oh ja zei.

ik moest voor x, (u+1)/2 invullen, dat had ik niet eens gezien.

Ik was ondertussen weer even verder gegaan en ben bij integralen met machten van sin en cos.

Nu stond er in het antwoordboekje een uitwerking die ik niet helemaal kon volgen:

int. sin²x*dx !!!

= int. 1/2*(1-cos(2x))*dx ->dit is gewoon een gonioregeltje

= 1/2 int. dx - 1/2 int. cos(2x)*1/2d(2x) ->1-cos(2x) buiten haakjes

halen, maakt 2 integralen.

dit kon ik nog wel volgen, maar dat tweede integraal heeft een 1/2 voor het integraal staan en voor het d-teken. Toch laten ze bij de oplossing een 1/2 weg:

1/2x -1/2 sin(2x) +c

moet dat dan niet -1/4 sin(2x) worden?

Ja, maar let even op je tekst bij de 3 !-tekens.

Jeroen

ik zie t niet...

TD

Je hebt gelijk, dat moet een factor 1/4 zijn.

Waar Safe op doelde is dat je argument van de sinus ontbrak, "sin²" bestaat niet net zoals "sin" niet bestaat, maar wel "sin²x" en "sinx".

Jeroen

maar wel "sin²x".

Dat staat er toch?

TD

Nee, er stond:

int. sin²*dx

in plaats van sin²x dx.

Jeroen

ooh sorry, ik zat alleen bij de uitroeptekentjes te kijken en daar was het al veranderd, vandaar dat ik het niet snapte.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[wiskunde] 'achter d-teken'

[wiskunde] 'achter d-teken'

Re: [wiskunde] 'achter d-teken'

Re: [wiskunde] 'achter d-teken'

Re: [wiskunde] 'achter d-teken'

Re: [wiskunde] 'achter d-teken'

Re: [wiskunde] 'achter d-teken'

Re: [wiskunde] 'achter d-teken'

Re: [wiskunde] 'achter d-teken'

Re: [wiskunde] 'achter d-teken'

Re: [wiskunde] 'achter d-teken'

Re: [wiskunde] 'achter d-teken'

Re: [wiskunde] 'achter d-teken'

Re: [wiskunde] 'achter d-teken'

Re: [wiskunde] 'achter d-teken'