Differentiaalvergelijking over gaan naar poolcoordinaten.

Bert F

Hallo,

Wie kan mij even uitleggen van waar dat tweede stuk in die uitdrukking komt.

Afbeelding

Groeten. Dank bij voorbaat.

TD

Kettingregel voor functies van meerdere veranderlijken... (zie Analyse I).

Bert F

ik zal daar eens gaan kijken

maar bij de ketting regel heb je tochte doen met twee functies inéén die je dan apart afleid en met elkaar vermenigvuldigt hoe bekomt men dan die optelling daarbij.

TD

De kettingregel geldt veel breder, hier gaat het om het afleiden van f(x,y) waarbij x en y functies zijn van u en t, en u bovendien zelf nog van t afhangt.

Bert F

ik heb hem gevonden (die kettingregel voor functie van meerdere variabelen) kan er mij iemand een concreet voorbeeld geven van die ketting regel toegepast op functies van meerdere variabelen.

Groeten.

Bert F

toch nog een vraagske hierover

Afbeelding

normaal zou ik zeggen dat we in dat laatste geval zitten maar gezien het resultaat zullen waarschijnelijk ik het eerste geval zitten. maar dan vraag ik me af waarom we niet te maken hebben met zoiets.

Afbeelding

Wie kan mij hierbij helpen zodat ik het echt juist weet hoe het nu is?

Groeten dank bij voorbaat.

TD

De afhankelijkheid van r naar t ken je niet, dus dat laat je als dr/dt. De reden waarom je in 8.17/18 twee termen krijgt is door de productregel.

Bert F

dus als ik mag samenvatten staat er eigenlijk ook (8.16)

\(x=r(t)\cost\)

alleen kennen we dan

\(r(t)\)

niet maar we weten wel dat er een verband is met die t.

Daarom leiden we het op die manier af. Groeten bedankt.

edit: nog een korte toevoeging: moest je die functie kennen dan was je differentiaal vergelijking opgelost.

TD

Van r weet je eigenlijk niet of het van t afhangt, dus voor de veiligheid veronderstel je van wel, dat is het meest algemeen. Moest r niet afhangen van t, dan wordt dr/dt gewoon 0 en dan verval je op de 'gewone' afgeleide naar t.

Bert F

ik begrijp het maar heb toch nog wel wat last met volgende oef.

Afbeelding

ik kan die

\(\cos t\)

gemakkelijk afleiden maar wat krijg ik dan voor y? o toch en hier moet ik door delen analoog aan vorige oef?

Groeten.

TD

We willen de afgeleiden van y naar x vervangen ifv afgeleiden van y naar t.

Voor de eerste afgeleide:

\(\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{\frac{{dy}}{{dt}}}}{{\frac{{dx}}{{dt}}}} = \frac{{\frac{{dy}}{{dt}}}}{{ - \sin t}} = \left( {\frac{{ - 1}}{{\sin t}}} \right)\frac{{dy}}{{dt}}\)

Voor de tweede afgeleide gaan we deze uitdrukking opnieuw afleiden naar x, via de kettingregel dan naar t:

\(\frac{{d^2 y}}{{dx^2 }} = \frac{d}{{dx}}\left( {\frac{{dy}}{{dx}}} \right) = \frac{d}{{dx}}\left( {\left( {\frac{{ - 1}}{{\sin t}}} \right)\frac{{dy}}{{dt}}} \right) = \frac{{\frac{d}{{dt}}\left( {\left( {\frac{{ - 1}}{{\sin t}}} \right)\frac{{dy}}{{dt}}} \right)}}{{\frac{{dx}}{{dt}}}}\)

Die dx/dt in de noemer is weer -sin(t), de teller werken we uit via de productregel:

\(\frac{d}{{dt}}\left( {\left( {\frac{{ - 1}}{{\sin t}}} \right)\frac{{dy}}{{dt}}} \right) = \frac{{\cos t}}{{\sin ^2 t}}\frac{{dy}}{{dt}} - \frac{1}{{\sin t}}\frac{{d^2 y}}{{dt^2 }}\)

zodat

\(\frac{{d^2 y}}{{dx^2 }} = \frac{{ - 1}}{{\sin t}}\left( {\frac{{\cos t}}{{\sin ^2 t}}\frac{{dy}}{{dt}} - \frac{1}{{\sin t}}\frac{{d^2 y}}{{dt^2 }}} \right)\)

Invullen levert:

\(\left( {1 - x^2 } \right)\frac{{d^2 y}}{{dx^2 }} - x\frac{{dy}}{{dx}} - y \to \left( {1 - \cos ^2 x} \right)\frac{{ - 1}}{{\sin t}}\left( {\frac{{\cos t}}{{\sin ^2 t}}\frac{{dy}}{{dt}} - \frac{1}{{\sin t}}\frac{{d^2 y}}{{dt^2 }}} \right) - \cos t\left( {\frac{{ - 1}}{{\sin t}}} \right)\frac{{dy}}{{dt}} - y\)

We kunnen vereenvoudigen, er geldt alvast \(1 - \cos ^2 x = \sin ^2 x\):

\( - \sin t\left( {\frac{{\cos t}}{{\sin ^2 t}}\frac{{dy}}{{dt}} - \frac{1}{{\sin t}}\frac{{d^2 y}}{{dt^2 }}} \right) - \cos t\left( {\frac{{ - 1}}{{\sin t}}} \right)\frac{{dy}}{{dt}} - y = - \frac{{\cos t}}{{\sin t}}\frac{{dy}}{{dt}} + \frac{{d^2 y}}{{dt^2 }} + \frac{{\cos t}}{{\sin t}}\frac{{dy}}{{dt}} - y\)

Tenslotte vallen de termen in de eerste afgeleide dy/dt nog weg zodat er overblijft:

\(\frac{{d^2 y}}{{dt^2 }} - y\)

En dat ziet er opeens opvallen eenvoudig uit

Bert F

ik had het moeten weten je weet niets over die y dus analoog aan de vorige alleen formeel afleiden.

Groeten. Bedankt.

TD

Graag gedaan, veel schrijfwerk maar in feite niet moeilijk - gewoon doorbijten!

Bert F

Ik begrijp het maar ga er toch nog eentje beschrijven, er moet ergens een foutje in zitten maar ik vindt dat niet.

\(x^3 \frac{d^3y}{dx^3} - 3x^2 \frac{d^2y}{dx^2} +7x \frac{dy}{dx} -8y\)

Waar

\(x=e^t\)

Eerst de eerste afgeleiden:

\(\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dy}} = \frac{\frac{dy}{dt}}{e^t}=\frac{dy}{dt}e^t\)

Dan de tweede hier zal de

\(e^t\)

wegvallen.

\(\frac{d^2}{dx^2}=\frac{d}{dx}(\frac{dy}{dt}e^t)=\frac{d^2y}{dt^2}+\frac{dy}{dt}\)

Dan de derde hier heb je weer een

\(e^t\)

\(\frac{d^3}{dt^3}=\frac{\frac{d^3y}{dt^3}+\frac{d^2y}{dt^2}}{e^t}\)

invullen levert:

\(e^{3t}(\frac{\frac{d^3y}{dt^3}+\frac{d^2y}{dt^2}}{e^t})-3e^{2t}(\frac{d^2y}{dt^2}+\frac{dy}{dt})) +7e^{2} (\frac{dy}{dt}e^t )- 8y \)

Ik zou op één of ander manier die

\(e^t\)

moeten weg krijgen maar ik zie hier niet in te slagen waar zit ik fout ?

Groeten. Dank bij voorbaat.

TD

Bert F schreef:Eerst de eerste afgeleiden:

\(\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dy}} = \frac{\frac{dy}{dt}}{e^t}=\frac{dy}{dt}e^t\)

Hier zit al wat mis, verder heb ik nog niet gelezen. Om te beginnen is de noemer in je tweede uitdrukking niet dx/dy maar dx/dt. In de derde uitdrukking klopt de uitwerking er wel van, dat is dus e^t; maar die staat dus in de noemer! De laatste uitdrukking klopt dus niet, het is een factor 1/e^t en niet e^t die je moet vermenigvuldigen met dy/dt.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Differentiaalvergelijking over gaan naar poolcoordinaten.

Differentiaalvergelijking over gaan naar poolcoordinaten.

Re: Differentiaalvergelijking over gaan naar poolcoordinaten.

Re: Differentiaalvergelijking over gaan naar poolcoordinaten.

Re: Differentiaalvergelijking over gaan naar poolcoordinaten.

Re: Differentiaalvergelijking over gaan naar poolcoordinaten.

Re: Differentiaalvergelijking over gaan naar poolcoordinaten.

Re: Differentiaalvergelijking over gaan naar poolcoordinaten.

Re: Differentiaalvergelijking over gaan naar poolcoordinaten.

Re: Differentiaalvergelijking over gaan naar poolcoordinaten.

Re: Differentiaalvergelijking over gaan naar poolcoordinaten.

Re: Differentiaalvergelijking over gaan naar poolcoordinaten.

Re: Differentiaalvergelijking over gaan naar poolcoordinaten.

Re: Differentiaalvergelijking over gaan naar poolcoordinaten.

Re: Differentiaalvergelijking over gaan naar poolcoordinaten.

Re: Differentiaalvergelijking over gaan naar poolcoordinaten.