De laatste primitieve kan ik bepalen. Maar de eerste geeft mij tot nu toe moeilijkheden. Wie is er liefhebber?
Intergraal met meer primitieven
Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
- Berichten: 3.330
Intergraal met meer primitieven
\(\int \frac{dx}{\cos x}=\ln \vert\sec x+\tan x \vert+C =\frac{1}{2}.\ln \frac{1+\sin x}{1-\sin x}+C waarbij [ \vert x \vert < \frac{\pi}{2} ]\)
De laatste primitieve kan ik bepalen. Maar de eerste geeft mij tot nu toe moeilijkheden. Wie is er liefhebber?
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?
-
- Berichten: 2.589
Re: Intergraal met meer primitieven
wat bedoel je met de laatste?
je hebt
je hebt
\(\int \frac{dx}{\cos(x)}= \int \frac{\cos(x)}{\cos^2(x)}\)
neem nu \(u=\sin(x) \rightarrow du=\cos(x) dx \)
zodat je krijgt \(\int \frac{1}{1-u^2}du\)
breuksplits dit en je komt er.- Berichten: 24.578
Re: Intergraal met meer primitieven
Of zonder opnieuw (maar via een andere weg) te primitiveren, wil je aantonen dat beide gelijk zijn (op evt een constante na). Als je die factor 1/2 voor de ln mee in de uitdrukking neemt wordt dat een macht 1/2; een vierkantswortel dus. Ik vertrek met de oplossing die je wel vond, en herschrijf:
\(\sqrt {\frac{{1 + \sin x}}{{1 - \sin x}}} = \sqrt {\frac{{\left( {1 + \sin x} \right)\left( {1 + \sin x} \right)}}{{\left( {1 - \sin x} \right)\left( {1 + \sin x} \right)}}} = \sqrt {\frac{{\left( {1 + \sin x} \right)^2 }}{{1 - \sin ^2 x}}} = \sqrt {\frac{{\left( {1 + \sin x} \right)^2 }}{{\cos ^2 x}}} = \frac{{1 + \sin x}}{{\cos x}} = \frac{1}{{\cos x}} + \frac{{\sin x}}{{\cos x}}\)
Dat laatste is nu precies sec(x)+tan(x)."Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
- Berichten: 3.330
Re: Intergraal met meer primitieven
Zoals Bert F beschrijft heb ik deze oplossing gevonden. Zoals TD! beschrijft had ik nog niet gedaan. Dus ik ben geholpen.
Maar in een boek had ik voor de integraal de eerste primitieve gevonden zonder een verklaring. De zaak is natuurlijk nu wel opgelost. Maar kan men ook rechtstreeks die primitieve vinden, zonder die omrekening die TD! gedaan heeft. Ik zie mij er niet te komen.
Maar in een boek had ik voor de integraal de eerste primitieve gevonden zonder een verklaring. De zaak is natuurlijk nu wel opgelost. Maar kan men ook rechtstreeks die primitieve vinden, zonder die omrekening die TD! gedaan heeft. Ik zie mij er niet te komen.
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?
- Berichten: 24.578
Re: Intergraal met meer primitieven
Wat bedoel je met 'rechtstreeks'? Dat je deze uitkomst direct verkrijgt door integratie?
Dat zal afhangen van de manier waarop je integreert, de aanpak, de gebruikte technieken, ...
Dat zal afhangen van de manier waarop je integreert, de aanpak, de gebruikte technieken, ...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
- Berichten: 24.578
Re: Intergraal met meer primitieven
Aanvulling: dat kan natuurlijk altijd, zeker nu je het antwoord kent.
Merk eerst op dat:
Nu is de teller precies de afgeleide van de noemer, dus ln van de noemer als primitieve.
Merk eerst op dat:
\(\sec x + \tan x = \frac{1}{{\cos x}} + \frac{{\sin x}}{{\cos x}} = \frac{{1 + \sin x}}{{\cos x}}\)
Nu herschrijven zoals ook Bert F begon:\(\frac{1}{{\cos x}} = \frac{{\cos x}}{{\cos ^2 x}} = \frac{{\cos x}}{{1 - \sin ^2 x}}\)
Nu ontbinden levert precies de 1+sin(x) van daarnet:\(\frac{{\cos x}}{{\left( {1 - \sin x} \right)\left( {1 + \sin x} \right)}} = \frac{1}{{1 - \sin x}}\frac{{\cos x}}{{1 + \sin x}} = \frac{{\frac{1}{{1 - \sin x}}}}{{\frac{{1 + \sin x}}{{\cos x}}}} = \frac{{\frac{1}{{1 - \sin x}}}}{{\sec x + \tan x}}\)
Die voorlaatste stap is nu vrij 'artificieel', maar verder wel correct.Nu is de teller precies de afgeleide van de noemer, dus ln van de noemer als primitieve.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
- Berichten: 3.330
Re: Intergraal met meer primitieven
Ik heb respect voor de manier waarop ge met wiskundige formules goochelt. Mijn interesse gaat meer naar fysica, maar toch moet ik schrijven dat ge je verbazing wekkend uit alle situaties kunt redden.
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?
- Berichten: 24.578
Re: Intergraal met meer primitieven
Dat is natuurlijk "gezichtsbedrog"; ik kan me redden uit de situaties waarop ik antwoord :-$Ik heb respect voor de manier waarop ge met wiskundige formules goochelt. Mijn interesse gaat meer naar fysica, maar toch moet ik schrijven dat ge je verbazing wekkend uit alle situaties kunt redden.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
- Berichten: 3.330
Re: Intergraal met meer primitieven
Ge zijt nederig. Ik had dit al begrepen maar ge antwoordt toch op veel situaties.
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?