xy-gebied omzetten in poolcoördinaten

Moderators: dirkwb, Xilvo

Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
Reageer

Bericht 14-10-'06, 21:40

Sjakov

Berichten: 8

xy-gebied omzetten in poolco

Afbeelding

ik moet een dubbele integraal bereken over het gebied tussen y=x^2 en y=x

nu is dat niet zo'n probleem, maar ik moet het berekenen door het om te zetten naar poolcoördinaten.

Weet iemand hoe ik het gebied van het plaatje (1<x<0 & x<y<x^2) omzet naar poolcoördinaten

de hoek
\(\varphi\)
loopt van 0 tot
\(\frac{1}{4}\varphi\)
, maar hoe kom ik aan de R?

Alvast bedankt
Omhoog

Bericht 14-10-'06, 22:02

A.Square

Berichten: 251

Re: xy-gebied omzetten in poolco

De lijn y=x in poolcoordinaten lijkt me niet moeilijk: phi = [pi]/4; r=r

En nu de lijn y=x2

Je werkt alleen in het eerste kwadrant, dus je kunt gerust zeggen:

phi = tan(y/x) = tan(x2/x) = tan(x)

r = :) (x2+y2) = :) (x2+x4)

En dan de integraal, daarvoor bepaal je dus voor iedere hoek tussen 0 en [pi]/4 het stuk van r dat in het gemarkeerde oppervlakte valt.

De lijn van r valt op twee plekken samen met de curve van y=x2. Zou dat iets te maken kunnen hebben met het feit dat :) (x2+x4) hetzelfde resultaat geeft voor steeds twee verschillende waarden van x?

Terug naar jou Sjakov.
Omhoog

Bericht 14-10-'06, 22:33

Sjakov

Berichten: 8

Re: xy-gebied omzetten in poolco

Afbeelding

bij de opgave hiervoor moest ik bovenstaand gebied beschrijven met poolcoördinaten en dat heb ik als volgt gedaan:

y=1-x

r sin
\(\varphi\)
= 1 - r cos
\(\varphi\)
r sin
\(\varphi\)
+ r cos
\(\varphi\)
= 1

r (sin
\(\varphi\)
+ cos
\(\varphi\)
) = 1

r =
\(\frac{1}{\sin \varphi + \cos \varphi}\)
\(\varphi\)
loopt van 0 tot
\(\frac{1}{2} \pi\)
en r dus van 0 tot
\(\frac{1}{\sin \varphi + \cos \varphi}\)
Ik wilde y=
\(x^2\)
ook op deze manier oplossen maar dan loop ik vast
\(y = x^2\)
\(r \sin\varphi = r^2 \cos^2\varphi\)
??

dit krijg ik nu niet netjes vereenvoudigd tot een r=....

leuk trouwens dat LaTeX 8)
Omhoog

Bericht 14-10-'06, 23:17

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: xy-gebied omzetten in poolco

Voor de eerste opgave, grens van r:
\(y = x^2 \to r\sin t = r^2 \cos ^2 t \Leftrightarrow r^2 \cos ^2 t - r\sin t = 0 \Leftrightarrow r\left( {r\cos ^2 t - \sin t} \right) = 0\)
De eerste factor levert r = 0, de tweede r = sint/cos²t. Dus:
\(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\int\limits_0^{\frac{{\sin t}}{{\cos ^2 t}}} {rdrdt} } \)
Uitrekenen zou 1/6 moeten leveren, hetzelfde als x-x² integreren van 0 tot 1.

Voor de nieuwe opgave ben je goed bezig, de grenzen kloppen.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 15-10-'06, 00:02

Sjakov

Berichten: 8

Re: xy-gebied omzetten in poolco

Super bedankt TD! :)

dat was de stap die ik net niet zag...

dit was de opgave in totaal:
\(\int\limits_0^1 {\int\limits_{x^2}^x{\frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}} dydx\)
berekenen door om te zetten naar poolcoördinaten

Het gebied is nu bekend, nou nog even
\(\frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}}\)
omzetten naar poolc. en dan kan ik hem integreren
Omhoog

Bericht 15-10-'06, 00:07

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: xy-gebied omzetten in poolco

Maar dat is niet moeilijk meer, want in poolcoördinaten geldt namelijk x²+y² = r²!

Het is precies daarom dat je naar PC overgaat, want het integratiegebied was ook cartesisch goed te doen.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 15-10-'06, 10:36

Sjakov

Berichten: 8

Re: xy-gebied omzetten in poolco

Maar dat is niet moeilijk meer,...
en toch kom ik er niet uit :)
\(x^2 + y^2 = r^2\)
\(\frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}}=\frac{1}{\sqrt{r^2}}=\frac{1}{r}\)
\(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\int\limits_0^{\frac{{\sin t}}{{\cos ^2 t}}} \frac{1}{r}{rdrdt} }=\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\int\limits_0^{\frac{{\sin t}}{{\cos ^2 t}}} 1{drdt} }\Rightarrow\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} \frac{{\sin t}}{{\cos ^2 t}}{dt} }\)
uiteindelijk komt er
\(\sqrt{2}-1\)
uit maar ik weet niet hoe ik verder moet.
\(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} \frac{{\sin t}}{{\cos ^2 t}}{dt} }=\left[\frac{1}{\cos{t}}\right]^{\frac{\pi}{4}}_0\)
zegt Maple maar ik snap niet hoe ik daar aan moet komen :)
Omhoog

Bericht 15-10-'06, 10:57

EvilBro

Berichten: 7.068

Re: xy-gebied omzetten in poolco

Substitutie:
\(u = \cos(t)\)
\(du = d(\cos(t)) = -\sin(t) dt\)
\(t = 0 \rightarrow u = \cos(0) = 1\)
\(t = \frac{\pi}{4} \rightarrow u = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} \frac{{\sin t}}{{\cos ^2 t}}{dt} }= \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} \frac{-1}{{\cos ^2 t}}{d(\cos t)} }= \int\limits_1^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \frac{-1}{u^2}du} = \left[ \frac{1}{u} \right]^{\frac{\sqrt{2}}{2}}_1=\left[\frac{1}{\cos{t}}\right]^{\frac{\pi}{4}}_0 \)
Omhoog

Bericht 15-10-'06, 11:59

Sjakov

Berichten: 8

Re: xy-gebied omzetten in poolco

Thnx :)

ik was aan het rommelen met
\(\frac{\sin{t}}{\cos^2{t}}=\tan{t}\cos{t}\)
maar dat liep een beetje dood met mijn kennis
Omhoog

Bericht 15-10-'06, 17:51

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: xy-gebied omzetten in poolco

Je herkent een functie van cos(x) (namelijk 1/cos²x) en zijn afgeleide, evt op een constante factor na => substitutie :)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog
Reageer

Terug naar “Wiskunde”