we hebben vrijdag nog net de inleiding gezien tot het volgende hoofdstuk: "Lineaire algebra", waarin we bezig zijn met stelsels. Nu heeft de prof ons een paar proposities opgegeven, die we zelf moeten bewijzen. Zouden jullie eens willen kijken of ze kloppen?
bewijs:Propositie 1:
Veronderstel dat X1 en X2 oplossing zijn van een homogeen stelsel en dat1,
1X1 +
Het gaat over een homogeen stelsel, dus: AX=0
We weten dat X1 en X2 oplossingen van het selsel zijn, dus: X1=0 en X2=0.
Dan is
1X1+ 2X2 ook een oplossing, want:A(
1X1+ 2X2)=AX1 1+AX2 2=0+0=0______________________________________________________
bewijs:Gevolg propositie 1:
Het aantal oplossingen van een homogeen stelse is ofwel één ofwel oneindig
Het gaat over een homogeen stelsel, dus: AX=0
- Indien er één oplossing is: X1=0
- Indien er meerdere oplossingen zijn:
Stel A=0, dan geldt voor alle X dat AX=0
bewijs:Propositie 3:
Veronderstel dat X1 en X2 oplossingen zijn van een niet-homogeen stelsel AX=B. Dan is X1-X2 een oplossing van het geassocieerde homogene stelsel AX=0
We weten dat AX1=B en dat AX2=B. Nu kunnen we zeggen dat X1-X2 een oplossing is van het geassocieerde homogene stelsel, want:
A(X1-X2)=AX1-AX2=B-B=0
_______________________________________________________
bewijs:Gevolg 1 propositie 3:
Als Xp één particuliere oplossing van een niet-homogeen stelsel AX=B is, dan is elke andere oplossing van dat stelsel van de vorm X=Xh+Xp, waarbij Xh een oplossing is van het geassocieerde homogene stelsel AX=0
We weten dat AXp=B.
We weten ook dat AXh=0. Dan kunnen we zeggen dat Xh+Xp=B, want:
A(Xh+Xp)=AXh+AXp=0+B=B
________________________________________________________
Bewijs:Gevolg 1 propositie 3:
Het aantal oplossingen van een niet-homogeen stelsel is ofwel 0, ofwel één, ofwel oneindig.
Dit bewijs vind ik niet, het zal waarschijnlijk wel even makkelijk zijn als de bovenstaande, maar toch vind ik het niet... Een duwtje in de rug zou moeten volstaan
Bedankt voor de tijd!
Groeten,
Stijn
