Bewijs ivm even en oneven functies

raintjah

Hoi,

ik zou de volgende stelling graag bewezen zien, maar dat vlot niet echt:

Elke functie van naar [rr] is te schrijven als de som van een even en een oneven functie.

Wat ik al geprobeerd heb:

Kies een twee willekeurige functies, f1(x) en f2(x) die respectievelijk even en oneven zijn. Je kan dus zeggen dat:

f1(x)=f1(-x)

en

-f2(x)=f2(-x)

Nu tel je beide functies op: f1(x)+f2(x) = ...

Hoe moet het nu verder?

Alvast bedankt!

Stijn

TD

Bijna goed, maar je neemt f ipv willekeurige functies en je moet ze optellen met een gewicht zodat de som weer f levert:

\(f\left( x \right) = \underbrace {\frac{{f\left( x \right) + f\left( { - x} \right)}}{2}}_{\rm{even}} + \underbrace {\frac{{f\left( x \right) - f\left( { - x} \right)}}{2}}_{\rm{oneven}}\)

raintjah

TD! schreef:Bijna goed, maar je neemt f ipv willekeurige functies en je moet ze optellen met een gewicht zodat de som weer f levert:

\(f\left( x \right) = \underbrace {\frac{{f\left( x \right) + f\left( { - x} \right)}}{2}}_{\rm{even}} + \underbrace {\frac{{f\left( x \right) - f\left( { - x} \right)}}{2}}_{\rm{oneven}}\)

Maar gebruik je op die manier het te bewijzen niet in je bewijs zelf? Namelijk dat f(x) gelijk is aan de som van een oneven en een even functie?

TD

Links staat f(x), rechts ook, maar dan geschreven als som van twee termen: één even en één oneven.

Dat wilden we toch aantonen? Dat je elke f kan schrijven als som van een even en een oneven functie.

Zie je waarom die twee termen respectievelijk een even en een oneven functie zijn? Ga de definitie na!

raintjah

Moet het trouwens niet zo zijn:

\(f\left( x \right) = \underbrace {\frac{{f\left( x \right) + f\left( { - x} \right)}}{2}}_{\rm{oneven}} + \underbrace {\frac{{f\left( x \right) - f\left( { - x} \right)}}{2}}_{\rm{even}}\)

?

TD

Ga de definitie na, vervang in beide termen eens x door -x, welke term verandert van teken en welke niet?

raintjah

Achja, tuurlijk.

Ik redeneerde zo:

f(x)+f(-x) => f(-x)=-f(x) dus is de functie oneven. Maar je mag dat zooitje natuurlijk niet zomaar gelijk stellen aan nul.

Maar nu nog een probleempje:

Als je nu de termen van dat rechterlid uitwerkt:

\(\frac{f(x)+f(-x)}{2} = \frac{f(x)+f(x)}{2} = f(x)\)

want de functie is even (dus is f(x)=f(-x)

en

\(\frac{f(x)-f(-x)}{2} = \frac{f(x)+f(x)}{2} = f(x)\)

want de functie is oneven (dus is f(-x)=-f(x)

Dus dat geeft dan:

f(x)=f(x)+f(x), en dat klopt dan toch niet?

Er zal wel ergens een foutje in mijn gedachtegang zitten, maar ik weet niet waar.

TD

Eerste term is even, want:

\(\frac{{f\left( x \right) + f\left( { - x} \right)}}{2} = \frac{{f\left( { - x} \right) + f\left( { - \left( { - x} \right)} \right)}}{2} = \frac{{f\left( { - x} \right) + f\left( x \right)}}{2} = \frac{{f\left( x \right) + f\left( { - x} \right)}}{2}\)

Tweede term is oneven, want:

\(\frac{{f\left( x \right) - f\left( { - x} \right)}}{2} = - \frac{{f\left( { - x} \right) - f\left( { - \left( { - x} \right)} \right)}}{2} = - \frac{{f\left( { - x} \right) - f\left( x \right)}}{2} = - \frac{{f\left(- x \right) - f\left( { x} \right)}}{2}\)

En de som is f(x), dat is eenvoudig na te gaan (f(-x)-f(-x) valt weg en f(x)/2+f(x)/2 geeft f(x)).

raintjah

Juist. Ik snap het, thx [rr]

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Bewijs ivm even en oneven functies

Bewijs ivm even en oneven functies

Re: Bewijs ivm even en oneven functies

Re: Bewijs ivm even en oneven functies

Re: Bewijs ivm even en oneven functies

Re: Bewijs ivm even en oneven functies

Re: Bewijs ivm even en oneven functies

Re: Bewijs ivm even en oneven functies

Re: Bewijs ivm even en oneven functies

Re: Bewijs ivm even en oneven functies