Getaltheorie vraagstukje

HosteDenis

Hier een wiskundig vraagstukje. Ik was niet zeker of deze in het raadsel topic paste, vandaar een eigen topic. moderators mogen gerust verplaatsen (of wissen).

Stel dat $$x_1$$, $$x_2$$, $$\cdots$$ een rij reële getallen is zodat $$x_1=2$$ en zodat $$n\cdot x_n=2(2n-1)x_{n-1}$$, voor alle $$n \in \mathbb{N}_0$$.

Bewijs dat elke term van deze rij een natuurlijk getal is.

Eentje voor de getaltheoriefreaks. Indien vraagstukken als deze geapprecieerd worden volgen er nog.

Denis

Safe

HosteDenis schreef:Hier een wiskundig vraagstukje. Ik was niet zeker of deze in het raadsel topic paste, vandaar een eigen topic. moderators mogen gerust verplaatsen (of wissen).

Stel dat $$x_1$$, $$x_2$$, $$\cdots$$ een rij reële getallen is zodat $$x_1=2$$ en zodat $$n\cdot x_n=2(2n-1)x_{n-1}$$, voor alle $$n \in \mathbb{N}_0$$.

Bewijs dat elke term van deze rij een natuurlijk getal is.

Eentje voor de getaltheoriefreaks. Indien vraagstukken als deze geapprecieerd worden volgen er nog.

Denis

Wat bedoel je met $$n \in \mathbb{N}_0$$?

HosteDenis

Typfouten en ontbrekende woorden in de middelste alinea van mijn vorige post. Die alinea zou moeten zijn:

Die $$N$$ zou moeten staan voor de verzameling natuurlijke getallen; $$N = \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,\cdots \}$$. $$N_0$$ staat dus voor de verzameling natuurlijke getallen exclusief het getal 0, ofwel $$N_0 = N\backslash \{0\} = \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,\cdots \}$$.

*gast_safe_*

HosteDenis schreef:Hier een wiskundig vraagstukje. Ik was niet zeker of deze in het raadsel topic paste, vandaar een eigen topic. moderators mogen gerust verplaatsen (of wissen).

Stel dat $$x_1$$, $$x_2$$, $$\cdots$$ een rij reële getallen is zodat $$x_1=2$$ en zodat $$n\cdot x_n=2(2n-1)x_{n-1}$$, voor alle $$n \in \mathbb{N}_0$$.

Bewijs dat elke term van deze rij een natuurlijk getal is.

Eentje voor de getaltheoriefreaks. Indien vraagstukken als deze geapprecieerd worden volgen er nog.

Denis

Je antwoord vermoedde ik al. Je zal echter moeten beginnen met n=2, anders is er sprake van een x0.

HosteDenis

Je antwoord vermoedde ik al. Je zal echter moeten beginnen met n=2, anders is er sprake van een x0.

Ik dacht niet dat dit nodig was als ik specifiek $$x_1$$ definieer als $$x_1 = 2$$?

kotje

Voor

$x_0$

vindt men 1/2, geen probleem door het feit dat ze niet in de gevraagde rij staat.

Anders vindt men altijd produkten van 3 natuurlijke getallen als men achtereenvolgens

$x_2,x_3,x_4,..$

zoekt. Ik zie hier geen probleem.

Safe

kotje schreef:Voor
$x_0$
vindt men 1/2, geen probleem door het feit dat ze niet in de gevraagde rij staat.

Anders vindt men altijd produkten van 3 natuurlijke getallen als men achtereenvolgens
$x_2,x_3,x_4,..$
zoekt. Ik zie hier geen probleem.

Er is geen sprake van een probleem. Het is alleen maar 'netjes'.

Opm: het is natuurlijk niet best als in de rij getallen x0, x1, x2, ... , x0 geen natuurlijk getal is.

HosteDenis

Men vindt altijd produkten van 3 natuurlijke getallen als men achtereenvolgens
$x_2,x_3,x_4,..$
zoekt. Ik zie hier geen probleem.

Natuurlijk zie je hier geen probleem; je moet namelijk ook bewijzen dat je altijd een natuurlijk getal zal bekomen als term van de rij. Het feit dat je geen probleem ziet, betekent dat het te bewijzen is!

Aangezien deze topic al naar beneden aan het zakken is, zal ik het correcte bewijs maar posten. Indien jullie nog een vraagstukje wensen, wil ik er graag nog een posten.

Bij de meest elegante oplossing moest je er de binomiaalcoëfficienten in herkent hebben; dan kun je met inductie bewijzen dat

$$x_n = \frac{(2n)!}{(n!)^2}, \; \; \forall \; n \in \mathbb{N} _0$$

.

Deze gelijkheid is overduidelijk correct voor $$x_1$$ ofwel $$n=1$$. Nu moeten we volgens inductie bewijzen dat de gelijkheid correct is voor $$n = k+1$$, indien we veronderstellen dat ze correct is voor $$n = k$$. Nu,

$$x_{k+1} = \frac{2(2k+1)}{k+1}\cdot x_k = \frac{2(2k+1)\cdot (2k)!}{(k+1)\cdot (k!)^2} = \frac{(2k)! \cdot (2k+1) \cdot (2k+2)}{(k!)^2 \cdot (k+1)^2} = \frac{(2k+2)^2}{((k+1)!)^2}$$

.

En zo bewijzen we met inductie dat $$x_n = \frac{(2n)!}{(n!)^2}, \; \; \forall \; n \in \mathbb{N} _0$$. Het is dan ook duidelijk dat elke term van de rij ook een natuurlijk getal is.

Safe

HosteDenis schreef:Natuurlijk zie je hier geen probleem; je moet namelijk ook bewijzen dat je altijd een natuurlijk getal zal bekomen als term van de rij. Het feit dat je geen probleem ziet, betekent dat het te bewijzen is!

Aangezien deze topic al naar beneden aan het zakken is, zal ik het correcte bewijs maar posten. Indien jullie nog een vraagstukje wensen, wil ik er graag nog een posten.

Bij de meest elegante oplossing moest je er de binomiaalcoëfficienten in herkent hebben; dan kun je met inductie bewijzen dat

$$x_n = \frac{(2n)!}{(n!)^2}, \; \; \forall \; n \in \mathbb{N} _0$$
.

Deze gelijkheid is overduidelijk correct voor $$x_1$$ ofwel $$n=1$$. Nu moeten we volgens inductie bewijzen dat de gelijkheid correct is voor $$n = k+1$$, indien we veronderstellen dat ze correct is voor $$n = k$$. Nu,

$$x_{k+1} = \frac{2(2k+1)}{k+1}\cdot x_k = \frac{2(2k+1)\cdot (2k)!}{(k+1)\cdot (k!)^2} = \frac{(2k)! \cdot (2k+1) \cdot (2k+2)}{(k!)^2 \cdot (k+1)^2} = \frac{(2k+2)^2}{((k+1)!)^2}$$
.

En zo bewijzen we met inductie dat $$x_n = \frac{(2n)!}{(n!)^2}, \; \; \forall \; n \in \mathbb{N} _0$$. Het is dan ook duidelijk dat elke term van de rij ook een natuurlijk getal is.

Correct bewijs!

Dit bewijs gaat uit van de startwaarde x(1)=2.

Het doet er niet toe welke startwaarde je neemt, altijd zal x(n) een natuurlijk getal zijn!

Dit moet nog bewezen worden!

Bewijs met binomiaalcoeff, eveneens met volledige inductie.

Gegeven: nx(n)=2(2n-1)x(n-1) met n>=2 en x(1)=2

Te bew: x(n)=(2n nCr n)

Bew: n=2 geeft x(2)=(2*3)/2*x(1)=6=(4 nCr 2)

Neem aan: x(k-1)=(2k-2 nCr k-1) dan te bew: x(k)=(2k nCr k)

Bew: x(k)=2(2k-1)/k(2k-2 nCr k-1)= (2(2k-1)(2k-2). ... .k)/(k(k-1). ... .1)=(2k(2k-1). ... .(k+1))/(k(k-1). ... .1)=(2k nCr k)

HosteDenis

Inderdaad Safe, mooi!

Ik heb nog een vraagstukje, voor de enthusiaste wiskundige. Deze heb ik echter wel nog niet zelf gevonden...

Hier komt ie:

Stel

$x$

,

$y$

en

$z > 0$

. Bewijs dat

$\frac{\sqrt{yz+4zx+4xy}}{y+z}+\frac{\sqrt{zx+4xy+4yz}}{z+x}+\frac{\sqrt{xy+4yz+4zx}}{x+y}\geq \frac{9}{2}$

Zoals ik dus al zei, heb ik zelf nog geen oplossing voor dit vraagstukje gevonden. Wel vind ik het vreemd dat termen als $zx$ niet als $xz$ geschreven worden. Dit zou wel een zeer vreemde en oppervlakkige manier zijn van een eventueel herkenbaar patroon trachten te verbergen.

Iemand enig idee?

Safe

HosteDenis schreef:Inderdaad Safe, mooi!

Ik heb nog een vraagstukje, voor de enthusiaste wiskundige. Deze heb ik echter wel nog niet zelf gevonden...

Hier komt ie:

Stel
$x$
,
$y$
en
$z > 0$
. Bewijs dat

$\frac{\sqrt{yz+4zx+4xy}}{y+z}+\frac{\sqrt{zx+4xy+4yz}}{z+x}+\frac{\sqrt{xy+4yz+4zx}}{x+y}\geq \frac{9}{2}$
Zoals ik dus al zei, heb ik zelf nog geen oplossing voor dit vraagstukje gevonden. Wel vind ik het vreemd dat termen als $zx$ niet als $xz$ geschreven worden. Dit zou wel een zeer vreemde en oppervlakkige manier zijn van een eventueel herkenbaar patroon trachten te verbergen.

Iemand enig idee?

We noemen dit cyclische verwisseling x,y,z => y,z,x => z,x,y => ... .

Het gelijkstellen van de variabelen geeft de ondergrens!

HosteDenis

Aha, had ik geen idee van. Ik rangschik dan ook altijd alfabetisch.

Nu, enig idee? Ik zou maar al te graag eens een oplossing voor dat probleem zien. Indien jij (of iemand anders) er niet aan uit geraakt post ik wel een ander vraagstuk, één die ik zelf al oploste, net als de eerste.

Denis

Safe

HosteDenis schreef:Aha, had ik geen idee van. Ik rangschik dan ook altijd alfabetisch.

Nu, enig idee? Ik zou maar al te graag eens een oplossing voor dat probleem zien. Indien jij (of iemand anders) er niet aan uit geraakt post ik wel een ander vraagstuk, één die ik zelf al oploste, net als de eerste.

Denis

Je kan het volgende doen: stel y=px en z=qx, dan krijg je een functie in twee var p en q, uiteraard zijn p en q positief. En dan moet aan te tonen zijn(!), dat er een absoluut min 9/2 is voor p=q=1. Het is nogal bewerkelijk en wellicht is er een (elegantere) opl mogelijk.

HosteDenis

Met de beste wil van de wereld kan ik dat vraagstuk niet oplossen. Ik denk dat ik er ofwel het inzicht, ofwel de nodige leerstof voor mis.

Hoe dan ook, ik stop het tweede vraagstuk in dit topic in de doofpot (tenzij anderen geïnteresseerd zijn een oplossing te zoeken).

Ik post alvast "Getaltheorie Vraagstuk 3", waarvan ik de oplossing reeds gevonden heb. Deze derde vraag zal dus geen onbeantwoord vraagstuk op dit forum achterlaten.

Getaltheorie Vraagstuk 3 (inspiratie QED)

Bewijs dat er oneindig veel drietallen $$(a, b, c)$$ van natuurlijke getallen bestaan, zodat

- elk van deze getallen een deler is van het product van de twee andere getallen

- $a \neq b \neq c \neq a$

- $a + b = c + 1$

De bedoeling van het posten van deze vraagstukjes is anderen aanzetten tot het oplossen van getaltheorie. De bedoeling is uiteindelijk ook alle antwoorden in deze topic vermeld te hebben.

physicalattraction

Je kan het volgende doen: stel y=px en z=qx, dan krijg je een functie in twee var p en q, uiteraard zijn p en q positief. En dan moet aan te tonen zijn(!), dat er een absoluut min 9/2 is voor p=q=1. Het is nogal bewerkelijk en wellicht is er een (elegantere) opl mogelijk.

Je hebt dan toch nog steeds drie variabelen: x, p en q?

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Getaltheorie vraagstukje

Getaltheorie vraagstukje

Re: Getaltheorie vraagstukje

Re: Getaltheorie vraagstukje

Re: Getaltheorie vraagstukje

Re: Getaltheorie vraagstukje

Re: Getaltheorie vraagstukje

Re: Getaltheorie vraagstukje

Re: Getaltheorie vraagstukje

Re: Getaltheorie vraagstukje

Re: Getaltheorie vraagstukje

Re: Getaltheorie vraagstukje

Re: Getaltheorie vraagstukje

Re: Getaltheorie vraagstukje

Re: Getaltheorie vraagstukje

Re: Getaltheorie vraagstukje