Hey,
ik zoek een bewijs(zo volledig mogelijk uitgewerkt) dat het fet dat (e^x)'=e^x uniek is
Op het forum vond ik reeds : http://www.wisfaq.nl/show3archive.asp?id=2921&j=2002
Deze site zet me wel op de goede weg maar ik wil een volledig uitwerking ^^
Ben namenlijk bijna zeker dat de leraar dit maandag op men examen gaat vragen
(hij gaat nogal prat op dit feit en vorig jaar heeft hij het ook reeds gevraagd in de toenmalige 6es)
Ik heb reeds vrij eenvoudig kunnen bewijzen dat (e^x)'=e^x
Nu moet ik dus nog bewijzen dat dit uniek is,
ik citeer:
"En bovendien: je kunt aantonen dat er geen enkele andere functie bestaat waarvan de grafiek door (0,1) gaat en waarbij de afgeleide ook gelijk is aan de functie zelf.
Het feit dat de e-machtsfunctie en zijn afgeleide functie aan elkaar gelijk zijn is dus uniek te noemen. "
Kan iemand dit even wat vlotter vertalen en eventueel een volledig bewijs geven
Ik vind trouwens dat die site zich wat tegenspreekt:
Het is juist omwille van het feit dat de functie door (0,1) met hellingsgraad 1 gaat dat de afgeleide= ...
Het is dan dus niet meer noodzakelijk aantetonen dat er geen andere functie is waarbij afgeleide= ...
We moeten gewoon bewijzen dat er geen andere functie door (0,1) gaat met hellingsgraad 1
maar hoe doe je dit het rapst ?
Of indien iemand een betere/simpelere manier kent om te bewijzen dat de eigenschap uniek ...
Dank bij voorbaat
Laatste berichten
-
22:08
wig 11
-
21:37
speciale rel. theorie 12
-
21:22
[scheikunde] vraag Chemie - wat is de oplossing? 11
-
20:14
Aardlek-schakelaar 2
-
15:56
Programmeren met vectoren 6
-
14:53
Straatklok loopt 5 minuten voor 12
-
25 apr
Gravity and gravitation 4
-
25 apr
Bruine vlekken op treinaanwijzerbord 10
-
25 apr
Vogels in de stad zijn goede klussers 2
-
25 apr
Rood laserlicht 3
-
25 apr
Herleiden afmetingen vanaf een foto 21
-
25 apr
[wiskunde] Prijs Product per KG; Alternatief Inzicht 3
-
25 apr
do-re-mi-fa-so vliegtuigen 9
-
25 apr
geen minkowski-ruimte toch? Doe ik dit nou fout? 17
-
25 apr
[natuurkunde] kroon van koning op Syracuse 10
-
25 apr
2013 – Augustus Vraag 3 3
-
24 apr
Vraag 2009 Juli Vraag 5 5
-
24 apr
positie 2
-
24 apr
Schroefdraad berekening 8
-
24 apr
[scheikunde] Kan chloorgas de geleiding van elektriciteit belemmeren? 9
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
E^x is uniek
Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
-
- Berichten: 7.556
Re: E^x is uniek
Nee hoor. Tegenvoorbeeld:We moeten gewoon bewijzen dat er geen andere functie door (0,1) gaat met hellingsgraad 1
\(f(x)=x+1\)
Hiervoor geldt dat zowel de functiewaarde als de afgeleide in x=0 gelijk is aan 1.
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -
- Niels Bohr -
-
- Berichten: 5.679
Re: E^x is uniek
Volgens mij bedoelt hij dat de functie door (0,1) moet gaan en overal gelijk aan zijn eigen afgeleide moet zijn (niet alleen in x=0).Phys schreef:Nee hoor. Tegenvoorbeeld:
\(f(x)=x+1\)
Hiervoor geldt dat zowel de functiewaarde als de afgeleide in x=0 gelijk is aan 1.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.
-
- Berichten: 4
Re: E^x is uniek
Het moet dus overal gelijk stijgen he,Phys schreef:Nee hoor. Tegenvoorbeeld:
\(f(x)=x+1\)
Hiervoor geldt dat zowel de functiewaarde als de afgeleide in x=0 gelijk is aan 1.
sorry even verkeerd uitgedrukt ....
Iemand een idee hoe het dan wel moet ?
-
- Berichten: 24.578
Re: E^x is uniek
Subtiel detail: er voldoen oneindig veel functies aan deze eigenschap!Kristofgr schreef:Nu moet ik dus nog bewijzen dat dit uniek is,
ik citeer:
"En bovendien: je kunt aantonen dat er geen enkele andere functie bestaat waarvan de grafiek door (0,1) gaat en waarbij de afgeleide ook gelijk is aan de functie zelf.
Het feit dat de e-machtsfunctie en zijn afgeleide functie aan elkaar gelijk zijn is dus uniek te noemen. "
Namelijk alle (exponentiële) functies van de vorm: f(x) = c.e^x.
Het is nog maar de vraag wat je leraar precies verwacht...
Je zoekt functies y = f(x) zodat y' = y, dus dy/dx = y.
Herschrijf: dy/y = dx, dus na integratie: ln|y| = x+C.
Los dit nu op naar y.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 7.556
Re: E^x is uniek
Dat doet júist mijn voorbeeld: mijn functie stijgt overal met helling 1Het moet dus overal gelijk stijgen he,
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -
- Niels Bohr -
-
- Berichten: 4
Re: E^x is uniek
omdat het toch niet te moeilijk kan zijn (het moet zonder deze info toch ook te doen zijn)TD schreef:Subtiel detail: er voldoen oneindig veel functies aan deze eigenschap!
Namelijk alle (exponentiële) functies van de vorm: f(x) = c.e^x.
Het is nog maar de vraag wat je leraar precies verwacht...
Je zoekt functies y = f(x) zodat y' = y, dus dy/dx = y.
Herschrijf: dy/y = dx, dus na integratie: ln|y| = x+C.
Los dit nu op naar y.
dacht ik aan:
Voor alle x0 element van R
f'(x0)= f(x0)
Als
f(x0)= lim voor h gaande naar 0 (f(h+x0) - f(x0))/h
Indien je dit oplost kom je na wat uitwerken aan de x0e macht van de rij die e als als limiet voor h naar 0 heeft
(1+1/h)^h
Ik denk dus dat ik het gevonden heb ?
Ps: sorry indien dit onduidlijk is maar ben niet echt gewoon aan wiskunde op de pc
-
- Berichten: 24.578
Re: E^x is uniek
Wat bedoel je precies met dat "oplossen"?
Opmerking: de exponentiële functie y = e^x ligt wél uniek vast met een extra voorwaarde.
Het is de enige functie (R naar R) die voldoet aan y'(x) = y(x) met y(0) = 1, dan is c = 1.
Opmerking: de exponentiële functie y = e^x ligt wél uniek vast met een extra voorwaarde.
Het is de enige functie (R naar R) die voldoet aan y'(x) = y(x) met y(0) = 1, dan is c = 1.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 5.679
Re: E^x is uniek
Wat je kunt doen is omgekeerd redeneren, en proberen een functie te construeren, ervan uitgaande dat f'(x)=f(x) en f(0)=1. Heb je wel eens gehoord van Taylorreeksen? Dat komt van een stelling die zegt dat als een functie oneindig vaak differentieerbaar is in een punt (in dit geval nemen we 0, al is jouw functie overal oneindig vaak differentieerbaar, want f'(x)=f(x)), dan:
Kortom, als x voldoet aan f'(x)=f(x) en f(0)=1 dan moet gelden:
\(f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n\)
Hierbij is \(f^{(n)}\)
de n-de afgeleide, en omdat f(0)=1 is de n-de afgeleide daar ook 1 voor iedere n.Kortom, als x voldoet aan f'(x)=f(x) en f(0)=1 dan moet gelden:
\(f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}\)
en dat is precies e^x.In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.
-
- Berichten: 3.751
Re: E^x is uniek
Dat bewijst natuurlijk geen uniciteit: misschien bestaat een niet-analytische oplossing (die bestaat niet, maar dergelijke krachtige stellingen lijken me hier overbodig).
-
- Berichten: 24.578
Re: E^x is uniek
Gegeven de voorwaarde y'(x) = y(x) met y(0) = 1 en een zekere oplossing y = f(x).
Stel dat deze oplossing niet uniek is en dat er dus ook nog een y = g(x) bestaat.
Definieer h(u) = f(u)g(x-u), dan is h'(u) = f'(u)g(x-u)-f(u)g'(x-u) = f(u)g(x-u)-f(u)g(x-u) = 0.
Uit het feit dat h'(u) = 0 volgt dat h(u) constant is, zodat in het bijzonder geldt: h(0) = h(x).
Hieruit volgt f(0)g(x) = f(x)g(0), maar f(0) = g(0) = 1, zodat f(x) = g(x), ze zijn gelijk.
Stel dat deze oplossing niet uniek is en dat er dus ook nog een y = g(x) bestaat.
Definieer h(u) = f(u)g(x-u), dan is h'(u) = f'(u)g(x-u)-f(u)g'(x-u) = f(u)g(x-u)-f(u)g(x-u) = 0.
Uit het feit dat h'(u) = 0 volgt dat h(u) constant is, zodat in het bijzonder geldt: h(0) = h(x).
Hieruit volgt f(0)g(x) = f(x)g(0), maar f(0) = g(0) = 1, zodat f(x) = g(x), ze zijn gelijk.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 150
Re: E^x is uniek
Een soortgelijke oplossing:
We willen bewijzen dat
Stel
Dus
Hiermee is uniciteit aangetoond.
We willen bewijzen dat
\(e^x\)
de enige functie is die voldoet aan \(y'(x)=y(x)\)
en \(y(0)=1\)
.Stel
\(g(x)\)
is een andere functie die hieraan voldoet. Bekijk het quotient \(\frac{e^x}{g(x)}\)
. We berekenen van dit quotient de afgeleide met de quotientregel:\(\left(\frac{e^x}{g(x)}\right)'=\frac{g(x)(e^x)'-g'(x)e^x}{g(x)^2}=\frac{g(x)e^x-g(x)e^x}{g(x)^2}=0\)
Het quotient heeft 0 als afgeleide, dus het quotient moet gelijk zijn aan een constante c.\(\frac{e^x}{g(x)}=c\)
We vullen nu \(0\)
voor \(x\)
in. We krijgen dan\(c=\frac{e^0}{g(0)}=\frac{1}{1}=1\)
.Dus
\(c=1\)
, dus \(\frac{e^x}{g(x)}=1\)
en derhalve geldt \(e^x=g(x)\)
.Hiermee is uniciteit aangetoond.
