Laatste berichten
-
16:45
wig 8
-
15:56
Programmeren met vectoren 6
-
14:53
Straatklok loopt 5 minuten voor 12
-
23:12
speciale rel. theorie 10
-
22:36
Gravity and gravitation 4
-
22:24
[scheikunde] vraag Chemie - wat is de oplossing? 10
-
19:47
Bruine vlekken op treinaanwijzerbord 10
-
19:44
Vogels in de stad zijn goede klussers 2
-
19:12
Rood laserlicht 3
-
25 apr
Herleiden afmetingen vanaf een foto 21
-
25 apr
[wiskunde] Prijs Product per KG; Alternatief Inzicht 3
-
25 apr
do-re-mi-fa-so vliegtuigen 9
-
25 apr
geen minkowski-ruimte toch? Doe ik dit nou fout? 17
-
25 apr
[natuurkunde] kroon van koning op Syracuse 10
-
25 apr
2013 – Augustus Vraag 3 3
-
24 apr
Vraag 2009 Juli Vraag 5 5
-
24 apr
positie 2
-
24 apr
Schroefdraad berekening 8
-
24 apr
[scheikunde] Kan chloorgas de geleiding van elektriciteit belemmeren? 9
-
23 apr
Weerfrustratie 9
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
"positive" definite matrix
Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
"positive" definite matrix
ik heb ergens gelezen dat een "variance-covariance" matrix bij definitie altijd "positive definite" dient te zijn ... kan iemand mij uitleggen wat dat precies inhoudt en aan welke voorwaarden een matrix dient te voldoen om "positive definite" te zijn? zijn er misschien (enigszins toegankelijke) boeken of artikelen over dit onderwerp?
-
- Berichten: 5.679
Re: "positive" definite matrix
Een n x n matrix A heet positief definiet als xTAx>0 [vooralle]x[element] 
n.
Idem negatief definiet voor <0.
Met [grotergelijk]0 resp. [kleinergelijk]0 heet het trouwens semi-positief (resp. negatief) definiet.
xT is de "getransponeerde" van x: voor een matrix is dat rijen en kolommen verwisselen, voor een vector (opgevat als n x 1 matrix) komt dat neer als het toepassen van de vector als (horizontale) rij i.p.v. een (verticale) kolom.
Als het om een complexe matrix gaat: x moet je dan opvatten als z[element]
n en xT wordt z*, de complex geconjugeerde van z, dat is de getransponeerde met alle elementen geconjugeerd. Dus de kolom (1 2+3i) wordt geconjugeerd de rij (1 2-3i).
n.Idem negatief definiet voor <0.
Met [grotergelijk]0 resp. [kleinergelijk]0 heet het trouwens semi-positief (resp. negatief) definiet.
xT is de "getransponeerde" van x: voor een matrix is dat rijen en kolommen verwisselen, voor een vector (opgevat als n x 1 matrix) komt dat neer als het toepassen van de vector als (horizontale) rij i.p.v. een (verticale) kolom.
Als het om een complexe matrix gaat: x moet je dan opvatten als z[element]
n en xT wordt z*, de complex geconjugeerde van z, dat is de getransponeerde met alle elementen geconjugeerd. Dus de kolom (1 2+3i) wordt geconjugeerd de rij (1 2-3i).In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.
Re: "positive" definite matrix
Deze vraag heeft uiteraard niet toevallig alles te maken met je vorige vraag, omtrent covariantie. LISREL (LInear Structural RELations) van Jöreskog en Sörbom, controleert voorafgaand aan hun Structural Equation Model(l)ing of de betrokken matrix positive definite is. In gewoon Nederlands is dat: Zijn deze covarianties (of correlaties) onderling consistent, sluiten zij elkaar niet uit?. Bijvoorbeeld, als variabelen A en B elk een correlatie hebben van +1 met C, dan is het onmogelijk dat de correlatie tussen A en B kleiner is dan +1. Als variabelen A en B elk een correlatie hebben van +.50 met C, dan is de correlatie tussen A en B per definitie juist niet exact +1, maar ook niet exact -1; maar ergens daartussenin. Met andere woorden, twee verbanden (covarianties/correlaties, A-C en B-C), bepalen NIET éénduidig een derde (A-B), maar stellen er wel fysieke grenzen aan, zowel een onder- als een bovengrens. Worden die fysieke grenzen overschreden, dan is de matrix non-definite positive, en bijvoorbeeld de LISREL software kapt ermee. Non-definitive positive kan bijvoorbeeld optreden door pairwise deletion. Dat houdt in, je berekent de covariantie/correlatie A-C in subgroep 1, B-C in subgroep 2, en A-B in weer een andere subgroep van respondenten.
Non-definite positive is overigens niet hetzelfde als dat de determinant van een matrix nul is, een ander groot probleem. De determinant kijkt of er niet twee (of meer of combinaties van) variabelen zijn, die een lineaire combinatie van elkaar zijn (waarbij 0 afhankelijkheid inhoudt, de matrix is singulier, en <> 0 houdt in dat er geen afhankelijkheid is, de matrix is regulier). Bij een singuliere matrix houdt een programma als LISREL het ook voor gezien, omdat hij nu eenmaal door die determinant moet delen ergens, en hoe je door nul moet delen is ook anno 2005 nog niet echt uitgevonden.
Wat mezelf echter interesseert, en ik zou de mening van met name Rogier daarover zéér op prijs stellen, is wat die onder- en bovengrenzen dan wel zijn. Stel de correlatie tussen A-C is +.45 (of x), en die tussen B-C is +.20 (of y). Wat is dan de maximale (z(max)) en wat is dan de minimale correlatie tussen A en B (z(min))?
En nu hebben we dus een determinant, een index voor positive definite, maar is er nu ook een index voor elkaar uitsluitende afstanden in een afstandentabel?
Bijvoorbeeld, de afstandenmatrix (wellicht moet je de tabs erbij denken, ik weet niet van tevoren hoe dit er op het net uit komt te zien):
A B C D
A
B 3
C 5 4
D 4 5 3
zou dan consistentie-index 1 krijgen, het zijn 2 driehoeken van 3-4-5, 'ruggelings' tegen elkaar aan, dit is 100% 'mogelijk' in het [ons bekende] twee-dimensionele vlak.
Maar de afstandenmatrix:
A B C D
A
B 3
C 9 4
D 4 5 3
zou dan een véél lagere consistentie-index krijgen, aangezien deze 6 afstanden onderling fysiek gewoon niet 'kunnen' (in het twee-dimensionale vlak; er ligt a.h.w. een 'berg' tussen A en C; het zogenaamde residu is 9-5=4). (Met fysiek refereer ik aan de ons bekende wereld; abstracte situaties waarin bijvoorbeeld de wortel van -1 wèl bestaat (wortel -1 is i, irreële getallen) laten we buiten beschouwing [Nú éven níet!]).
Dus, is er een 'consistentie'-index voor iedere denkbare i*i-matrix? Wat is daar, in bijvoorbeeld Excel-termen, dan de 'formule' van? Of: is bewijsbaar dat zo'n consistentie-index niet bestaat?
Ik zou er voor mijn eigen (Excel-) programma om een willekeurige afstandentabel tussen objecten te vertalen in een set coördinaten van die objecten zeer mee zijn geholpen, dus... bij voorbaat dank voor iedere hint.
Non-definite positive is overigens niet hetzelfde als dat de determinant van een matrix nul is, een ander groot probleem. De determinant kijkt of er niet twee (of meer of combinaties van) variabelen zijn, die een lineaire combinatie van elkaar zijn (waarbij 0 afhankelijkheid inhoudt, de matrix is singulier, en <> 0 houdt in dat er geen afhankelijkheid is, de matrix is regulier). Bij een singuliere matrix houdt een programma als LISREL het ook voor gezien, omdat hij nu eenmaal door die determinant moet delen ergens, en hoe je door nul moet delen is ook anno 2005 nog niet echt uitgevonden
.Wat mezelf echter interesseert, en ik zou de mening van met name Rogier
daarover zéér op prijs stellen, is wat die onder- en bovengrenzen dan wel zijn. Stel de correlatie tussen A-C is +.45 (of x), en die tussen B-C is +.20 (of y). Wat is dan de maximale (z(max)) en wat is dan de minimale correlatie tussen A en B (z(min))?En nu hebben we dus een determinant, een index voor positive definite, maar is er nu ook een index voor elkaar uitsluitende afstanden in een afstandentabel?
Bijvoorbeeld, de afstandenmatrix (wellicht moet je de tabs erbij denken, ik weet niet van tevoren hoe dit er op het net uit komt te zien):
A B C D
A
B 3
C 5 4
D 4 5 3
zou dan consistentie-index 1 krijgen, het zijn 2 driehoeken van 3-4-5, 'ruggelings' tegen elkaar aan, dit is 100% 'mogelijk' in het [ons bekende] twee-dimensionele vlak.
Maar de afstandenmatrix:
A B C D
A
B 3
C 9 4
D 4 5 3
zou dan een véél lagere consistentie-index krijgen, aangezien deze 6 afstanden onderling fysiek gewoon niet 'kunnen' (in het twee-dimensionale vlak; er ligt a.h.w. een 'berg' tussen A en C; het zogenaamde residu is 9-5=4). (Met fysiek refereer ik aan de ons bekende wereld; abstracte situaties waarin bijvoorbeeld de wortel van -1 wèl bestaat (wortel -1 is i, irreële getallen) laten we buiten beschouwing [Nú éven níet!]).
Dus, is er een 'consistentie'-index voor iedere denkbare i*i-matrix? Wat is daar, in bijvoorbeeld Excel-termen, dan de 'formule' van? Of: is bewijsbaar dat zo'n consistentie-index niet bestaat?
Ik zou er voor mijn eigen (Excel-) programma om een willekeurige afstandentabel tussen objecten te vertalen in een set coördinaten van die objecten zeer mee zijn geholpen, dus... bij voorbaat dank voor iedere hint.
Re: "positive" definite matrix
vraag heeft inderdaad alles te maken met voorgaande vraag. ik weet niet of je hier iets aan hebt, maar toch ...
één van de voorwaarden voor een symmetrische matrix om (semi) positief definiet te zijn is een determinant >=0. Stel we hebben een 3x3 var - cov matrix: S = ((Sxx, Sxy, Sxz), (Sxy, Syy, Syz), (Sxz, Syz, Szz))
Verder weten we de covariantie tussen: (i) X en Y en (ii) Y en Z. De covariantie tussen X en Z moet dan liggen (vanwege eis dat determinant >=0 moet zijn) tussen:
(Sxy Syz - [(Sxy^2 - Sxx Syy)(Syz^2 - Syy Szz)]^(1/2)) / Syy
en
(Sxy Syz + [(Sxy^2 - Sxx Syy)(Syz^2 - Syy Szz)]^(1/2)) / Syy
één van de voorwaarden voor een symmetrische matrix om (semi) positief definiet te zijn is een determinant >=0. Stel we hebben een 3x3 var - cov matrix: S = ((Sxx, Sxy, Sxz), (Sxy, Syy, Syz), (Sxz, Syz, Szz))
Verder weten we de covariantie tussen: (i) X en Y en (ii) Y en Z. De covariantie tussen X en Z moet dan liggen (vanwege eis dat determinant >=0 moet zijn) tussen:
(Sxy Syz - [(Sxy^2 - Sxx Syy)(Syz^2 - Syy Szz)]^(1/2)) / Syy
en
(Sxy Syz + [(Sxy^2 - Sxx Syy)(Syz^2 - Syy Szz)]^(1/2)) / Syy
-
- Berichten: 5.679
Re: "positive" definite matrix
Hmm, voor de hand liggende vraag eigenlijk, maar ik had er nog nooit over nagedachtWat mezelf echter interesseert, en ik zou de mening van met name Rogierdaarover zéér op prijs stellen, is wat die onder- en bovengrenzen dan wel zijn. Stel de correlatie tussen A-C is +.45 (of ‘x’), en die tussen B-C is +.20 (of ‘y’). Wat is dan de maximale (‘z(max)’) en wat is dan de minimale correlatie tussen A en B (‘z(min)’)?
Intuïtief zou ik zeggen: als x en y beide 0 zijn dan kan z alles zijn, m.a.w. z
[-1,1]. En anders moet z tussen xy en sigma.gif(xy)[.]K(x,y) liggen, waarbij sigma.gif(x) = het teken van x = limh[omlaag]0(x+h)/|x+h| en K(x,y) = min(|x|,|y|) / max(|x|,|y|).Dus in het voorbeeld met A-C = 0.45 en B-C = 0.20, dan 0.09
A-B 4/9 0.444...In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.
