Zie b.v. Cardinaliteit van het continuum
Het alternatieve beeld dat ik heb op oneindigheid in de wiskunde is de volgende
Wiskunde kun je zien als een gereedschap
Precisie
Het gereedschap heeft een precisie van N.
Volgens x = x + 1 kun je blijven tellen tot oneindig.
Het gereedschap heeft in dit opzicht geen beperkingen.
Je kunt objecten beschrijven van iedere willekeurige grootte.
Iteratie en recursie
Het gereedschap ondersteund iteratie en recursie. Dit geldt voor operaties en functies binnen het gereedschap, maar ook het gereedschap zelf kan iteratief of recursief worden ingezet. Dit is een zeer krachtig mechanisme.
Het aantal mogelijke iteraties/recursies is weer N.
Ook hier legt het gereedschap je geen beperkingen op.
Fractals, inzoomen en uitzoomen
Een fractal zoals de bekende Mandelbrot set op een computerscherm geeft je een voorbeeld van mogelijkheden van dit gereedschap in combinatie. Deze functie resulteert in een bepaald beeld. Daarna kun je inzoomen op een deel van dit beeld. Je krijgt dan een nieuw beeld met dezelfde resolutie als het origineel. Vele nieuwe details worden zichtbaar. Dan kun je weer inzoomen met hetzelfde resultaat, etc. etc. etc. Je kunt oneindig doorgaan en de verdere details blijven komen. Voor uitzoomen geldt hetzelfde.
Dit proces toont je het recursief gebruik van het gereedschap zelf bij het inzoomen en uitzoomen. Het laat ook mooi zien dat je op elk gekozen niveau de volledige precisie tot je beschikking hebt.
Toepassing op oneindige verzamelingen
Ik zie een mogelijkheid dat men het recursief toepassen van het gereedschap over het hoofd heeft gezien. Neem je dit in ogenschouw, dan wordt alles weer intuitief begrijpbaar.
Telbaar oneindig
Volgens de huidige theorie zijn alle telbaar oneindige verzamelingen van de grootte |N|. Volgens dit beeld klopt dit niet. Bij deelverzamelingen van N, b.v. de even getallen, vergeet je dat je zojuist hebt ingezoomd en dat je nu weer de volledige precisie van het gereedschap tot je beschikking hebt. Bij verzamelingen als Z en Q vergeet je dat je net hebt uitgezoomd en je hebt weer dezelfde precisie tot je beschikking.
Je mag geen conclusies trekken uit 1-op-1 vergelijkingen tussen twee zoom-niveau's.
Deze verklaring kun je ook loslaten op de paradoxen van Galileo en die van Hilbert's Oneindige Hotel.
Ontelbaar oneindig
Op de grootte |R| van het aantal punten op ieder willekeurig stuk lijn kun je hetzelfde mechanisme loslaten. Door het gereedschap recursief op een steeds kleiner stukje lijn los te laten blijf je elke keer weer een beeld met dezelfde precisie terugkrijgen.
Dit is het maximum dat je met het gereedschap kunt doen, een beschrijving met een precisie van N N keer recursief toepassen.
Deze verklaring kun je ook loslaten op Cantors beroemde diagonale bewijs, maar net zo goed op zijn eerdere bewijs.
Set van alle sets, supersets, supertasks
Als je dit beeld volgt zie je hoe het idee van dit soort sets ontstaat. De tool wiskunde legt ons stomweg geen beperkingen op. Ditzelfde beeld geeft ook aan dat genoemde sets dus niet bestaan. Deze verklaring kun je loslaten op de paradox van Russell.
Resultaat van dit beeld
Dit eenvoudige beeld biedt de mogelijkheid om de groottes van oneindige verzamelingen weer de onderlinge verhoudingen te laten hebben die je zou verwachten. Het stelt je in staat om de Continuum Hypothese van Cantor te falsificeren.
Reality / Sanity check
Dit is een heel eenvoudig visueel beeld en de wiskunde op dit gebied is veel en veel complexer.
Ik ben maar een gewone prutser
, dus (nog) niet in staat om dit beeld in de wiskundige of logische syntax om te zetten.Maar ik vind het beeld wel heel erg krachtig.
). Je kan helaas niet goed aan wiskunde doen, als je de dingen niet precies formuleert. Zo kan ik zonder definitie van "jouw kardinaliteit", niet volgen/begrijpen wat jij waarschijnlijk bedoelt. Dat hoeft wat mij betreft niet eens in symbolen, een precieze definitie kan ook in woorden.
ligt voor mij dus gewoon tussen die van N en R in. Zullen we de cardinaliteit van de lege set op 0 stellen?
| maar strikt kleiner dan | 