[wiskunde] Ik snap niet het idee van: 'Lineaire afbeeldingen van R2 naar R2'

[Luc4s]

Hallo, ik ben bezig met mijn wiskunde D huiswerk dat gaat over lineaire algebra. Ik zit in de 5e van vwo.

Ik snap niet hoe het werkt met het onderwerp: 'Lineaire afbeeldingen van R2 naar R2'. En dit vormt de basis, dus dat maakt mij extra bezorgd.

. Dit zijn (als ik de juiste afbeelding erin heb geplakt) de vragen.

Ik snap niet hoe je moet kunnen bepalen naar werk punt het wijst op het moment dat je een rotatie uitvoert en het vermenigvuldigd. Want in het uitwerkingsboekje maken ze gebruik van een uitgetekend Oxy-assenstelsel. Ik heb het geprobeerd door het te tekenen maar dat ging niet goed, want ik heb helemaal geen idee waarom het specifiek bij een bepaald punt terecht komt.

Het enige dat mij is opgevallen is dat de eenheidsvectoren altijd geroteerd worden met: 30 graden, 45 graden, 60 graden, en 90 graden. Maar voor de rest snap ik er helemaal niks van.

Ik hoop dat iemand het mij kan verhelderen.
Alvast bedankt voor als je de tijd neemt om te kijken.

Hier de uitwerkingen:

[Xilvo]

Opmerking moderator

Verplaatst naar het forum "Huiswerk en Practica".

[Xilvo]

Je kunt een punt over een hoek \(\alpha\) om de oorsprong roteren door vermenigvuldigen met de matrix
\(\begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix}\)

Je vermenigvuldigt een punt met een factor \(f\) (maakt de vector vanuit de oorsprong met die factor langer) door vermenigvuldigen met
\(\begin{bmatrix} f & 0 \\ 0 & f \end{bmatrix}\)

Kom er hiermee uit?

[Luc4s]

WOW, hoe werkt dit. Dit is echt super gaaf. Er staat namelijk niks hierover in het theorie boek. Heel erg bedankt!!
Bestaat er ook zoiets voor R3 naar R3 of R3 naar R2?
Waarom werkt dit eigenlijk als ik vragen mag?

[HansH]

Waarom werkt dit eigenlijk als ik vragen mag?

boedoel je hoe je komt aan die matrix met sinussen en cosinussen?

rotatie.gif (10.86 KiB) 10741 keer bekeken

[Luc4s]

Aha, ik snap niet helemaal waarom sommige dingen gebeuren maar heel erg bedankt!

[HansH]

je kunt dus eerst kijken wat er met de 2 basisvectoren moet gebeuren.
omdat het een linearie afbeeklding is weet je dan ook gelijk wat er met een lineaire combinatie van die 2 basisvectoren moet gebeuren.

misschiebn leuk om wat te oefenen met onderstaande.
daar heb ik iets uitgewerkt mbt rotatie, vermenigvuldiging en translatie.
misschien kun je als oefening dan eens invullen wat bv rotatie gevolgd door vermenigvuldiging oplevert.

linafb2d.xlsx

(51.57 KiB) 68 keer gedownload

[HansH]

Aha, ik snap niet helemaal waarom sommige dingen gebeuren maar heel erg bedankt!

kun je aangeven wat moeilijk is?

[HansH]

onderstaande laat een beetje zien hoe je 2 afbeeldingen na elkaar kunt uitrekenen.
bij een afbeelding is de vector met x,y de input en mety de formule A input+b geeft je dan het afgebeelde punt.
dat proces kun je herhalen door de hele uitkomt dan te zien als weer 1 input en die vul je dan in de 2e afbeelding in.
dis dan krijg je A* (A1*input1+b1)+b zo kun je bv eerst een rotatie doen gevolgd door een vermenigvuldiging tov de oorsprong. maar je kunt ook de volgorde omkeren dus eerst de vermenigvuldiging en dan de rotatie.
als je die 2 helemsaal uitschrijft dan zie je dat het uiteindeliojk dezelfde formule geeft.
maar dat is natuurlijk niet altijd zo. kijkt maar eens wat er gebeurt als je eerst een translatie doet en dan een rotatie om de oorsprong. dat is wat anders dan eerst een rotatie om de oorsprong doet en dan een translatie.

lin_afb.gif (11.06 KiB) 10685 keer bekeken

[HansH]

Ik snap niet hoe je moet kunnen bepalen naar werk punt het wijst op het moment dat je een rotatie uitvoert en het vermenigvuldigd. Want in het uitwerkingsboekje maken ze gebruik van een uitgetekend Oxy-assenstelsel. Ik heb het geprobeerd door het te tekenen maar dat ging niet goed, want ik heb helemaal geen idee waarom het specifiek bij een bepaald punt terecht komt.

het is lastig om voor een willekeurige vector te zien hoe die roteert. (vermenigvuldiging tov de oorsprong is misschien makkelijker te zien). De truuk is dus om niet in een keer die vector te roteren, maar om te zien dat je hetzelfde krijgt als je eerst de 2 basisvectoren roteert an dan daarna snapt dat die willekeurige vector een combinatie is van die 2 basisvectoren. dus als je diezelfde combinatie neemt dan de geroteerde basisvectoren dan komt je op de geroteerde totaalvector.
dat is dus wat de afbeeldingsformule doet. Dus de truuk is om eerst de afbeeldingsformule op te stellen en dan daarna die simpel in te vullen met de vector die je hebt als input.

[HansH]

linafb2dv2.xlsx

(51.68 KiB) 65 keer gedownload

ik heb nog even de Excel sheet een rijtje bijgemaakt voor de combinatie van rotatie en vermenigvuldiging.
daarvoor heb ik de uitkomst van de rotatie: x1 en y1 (cel I3 en J3) als in[put genomen voor de vermenigvuldiging (cel G7 en H7) en dan bereken je daar de rotatie via de matix waarden die daarbihj horen (cel A7-f7 en k7 waarmee je de vermenigvuldigin instelt) het plotje plot alle x en y coordinaten van de kolommen i en j dus zie je gelijk wat er gebeurt als je wat verandert in de rotatie of vermenigvulfiging (kolom k)
je zou dus zelf de rotatie en vermenigvuldiging in een complete matrix kunnen uitwerken (rij 6 dus)

[ukster]

werkt goed in Maple...

[HansH]

is det een gratis pakket? ik gebruik zelf Mathcad. Dat gebruik ik via het werk, maar is niet gratis. In Excel kan het ook zoals ik had laten zien en is dan voor vrijwel iedereen toegankelijk.

[ukster]

Zeker niet gratis!
Single user license (stand alone) USS 1360
15 days Free trial https://www.maplesoft.com/products/mapl ... /?IC=10317

[Luc4s]

misschiebn leuk om wat te oefenen met onderstaande.
daar heb ik iets uitgewerkt mbt rotatie, vermenigvuldiging en translatie.
misschien kun je als oefening dan eens invullen wat bv rotatie gevolgd door vermenigvuldiging oplevert.
linafb2d.xlsx

WOW, super tof. Ik ga het even uitproberen! Wat ik moeilijk vindt is dat ik niet helemaal begrijp waarom dit allemaal gebeurd. Ik kan me gewoon niet echt voorstellen wat het nut is van dat je een vector vermenigvuldigd met een matrix van 2 bij 2 en dat het betekenis heeft.

Ook worden er in de uitwerkingen tekeningen gemaakt waarbij ze heel precies kunnen aangeven op welk punt iets terecht komt. Maar dit inzicht heb ik helemaal niet. Ik heb geen idee hoe je op bijvoorbeeld (...... ; sqrt(2)) uit komt op het moment dat je een vector 45 graden linksom draait (bij wijs van spreken).

Sorry voor zo een late reactie trouwens. Ik was veel bezig met leren voor mijn toetsweek en heb Wiskunde D even gelaten voor wat het is, echter vindt ik het best wel lastig om het goed te begrijpen en toe te passen. De toets gaan over de hoofdstukken vectormeetkunde en lineaire algebra.

Heel erg bedankt trouwens voor de hulp!