[Wiskunde] Gemeenschappelijke deler van oa 51760, 51982
Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
[Wiskunde] Gemeenschappelijke deler van oa 51760, 51982
Hoi,
In mijn werkboek voor wiskunde staat het volgende:
De getallen 51760, 51982 en 52241 geven bij deling door een geheel getal n > 1 alle drie dezelfde rest. Bepaal n.
Ik denk het zo op te lossen:
51760/x=51982/x=52241/x
Deze vergelijking kan mijn rekenmachientje echter niet oplossen. Hoe vereenvoudig je deze?
In mijn werkboek voor wiskunde staat het volgende:
De getallen 51760, 51982 en 52241 geven bij deling door een geheel getal n > 1 alle drie dezelfde rest. Bepaal n.
Ik denk het zo op te lossen:
51760/x=51982/x=52241/x
Deze vergelijking kan mijn rekenmachientje echter niet oplossen. Hoe vereenvoudig je deze?
- Berichten: 5.679
Re: [Wiskunde] Gemeenschappelijke deler van oa 51760, 51982
Voor die laatste vergelijking bestaat geen oplossing, maar bovendien is ie niet goed. De getallen gedeeld door het onbekende getal zijn namelijk niet gelijk aan elkaar, hun rest is gelijk aan elkaar. Dat kun je niet direct met een rekenmachine uitrekenen.
Waar het om gaat is dat de drie getallen kennelijk te schrijven zijn als 51760=x[.]n+r, 51982=y[.]n+r en 52241=z[.]n+r. Hierbij zijn x, y en z verschillende (onbekende en niet ter zake doende) getallen, n het getal waardoor je deelt, en r de rest die er dan bij alledrie uitkomt. Merk op dat hier misschien meerdere oplossingen voor n mogelijk zijn!
De truuk is om te kijken naar de verschillen van deze getallen:
51982-51760 = 222 = (y-x)[.]n
52241-51982 = 259 = (z-y)[.]n
52241-51760 = 481 = (z-x)[.]n
n is dus een gemeenschappelijke deler van de getallen 222, 259 en 481. Ze kunnen meer gemeenschappelijke delers hebben (al is dat hier niet het geval), iedere gemeenschappelijke deler zou een correcte oplossing zijn. Je kunt het makkelijkste de grootste gemeenschappelijke deler berekenen, bijvoorbeeld met het algoritme van Euclides.
De enige oplossing is hier: n=37 (sleep met je muis er overheen om het antwoord zichtbaar te maken)
Waar het om gaat is dat de drie getallen kennelijk te schrijven zijn als 51760=x[.]n+r, 51982=y[.]n+r en 52241=z[.]n+r. Hierbij zijn x, y en z verschillende (onbekende en niet ter zake doende) getallen, n het getal waardoor je deelt, en r de rest die er dan bij alledrie uitkomt. Merk op dat hier misschien meerdere oplossingen voor n mogelijk zijn!
De truuk is om te kijken naar de verschillen van deze getallen:
51982-51760 = 222 = (y-x)[.]n
52241-51982 = 259 = (z-y)[.]n
52241-51760 = 481 = (z-x)[.]n
n is dus een gemeenschappelijke deler van de getallen 222, 259 en 481. Ze kunnen meer gemeenschappelijke delers hebben (al is dat hier niet het geval), iedere gemeenschappelijke deler zou een correcte oplossing zijn. Je kunt het makkelijkste de grootste gemeenschappelijke deler berekenen, bijvoorbeeld met het algoritme van Euclides.
De enige oplossing is hier: n=37 (sleep met je muis er overheen om het antwoord zichtbaar te maken)
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.
- Berichten: 5.679
Re: [Wiskunde] Gemeenschappelijke deler van oa 51760, 51982
Nu niks, het probleem is opgelosten nu dan?
Hoe werkt wat?hoe werkt dat?
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.
-
- Berichten: 18
Re: [Wiskunde] Gemeenschappelijke deler van oa 51760, 51982
Ik heb hem ook gemaakt,
Dat je naar het verschil moest kijken dat had ik zelf ook al in gedachte. Ik heb het echter via proberen uit gekregen. Kun je me misschien eens uitleggen hoe jij met de alogaritme werkt (formule vorm) bij deze 3 getallen. Ik ben namenlijk niet in staat dit te achterhalen wat de gemeenschappelijk deler is volgens het verhaal van wikipedia
alvast bedankt.
PJ
Dat je naar het verschil moest kijken dat had ik zelf ook al in gedachte. Ik heb het echter via proberen uit gekregen. Kun je me misschien eens uitleggen hoe jij met de alogaritme werkt (formule vorm) bij deze 3 getallen. Ik ben namenlijk niet in staat dit te achterhalen wat de gemeenschappelijk deler is volgens het verhaal van wikipedia
alvast bedankt.
PJ
- Berichten: 5.679
Re: [Wiskunde] Gemeenschappelijke deler van oa 51760, 51982
de ggd(N1,N2) met N1>N2 bepaal je zo:
N3 = N1 - d1[.]N2 (waarbij d1 = N1/N2 afgerond naar beneden)
N4 = N2 - d2[.]N3 (waarbij d2 = N2/N3 afgerond naar beneden)
...
tot en met
Nk = Nk-2 - dk-2[.]Nk-1 (waarbij dk-2 = Nk-2/Nk-1 afgerond naar beneden)
En je stopt als Nk = 0.
Nk-1 is nu de grootste gemene deler van N1 en N2.
Voorbeeld:
ggd(481,259) =
481 - 1*259 = 222
259 - 1*222 = 37
222 - 6*37 = 0
Dus de ggd is 37.
N3 = N1 - d1[.]N2 (waarbij d1 = N1/N2 afgerond naar beneden)
N4 = N2 - d2[.]N3 (waarbij d2 = N2/N3 afgerond naar beneden)
...
tot en met
Nk = Nk-2 - dk-2[.]Nk-1 (waarbij dk-2 = Nk-2/Nk-1 afgerond naar beneden)
En je stopt als Nk = 0.
Nk-1 is nu de grootste gemene deler van N1 en N2.
Voorbeeld:
ggd(481,259) =
481 - 1*259 = 222
259 - 1*222 = 37
222 - 6*37 = 0
Dus de ggd is 37.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.