Iemand enig idee hoe hieraan te beginnen ?
![Zeer gelukkig :D](./images/smilies/icon_e_biggrin.gif)
Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
Hoe drukken we via een rij uit dat we oneindig veel punten rond a kunnen vinden ?TD schreef: ↑wo 02 mei 2012, 09:28
Heb je een van de implicaties al geprobeerd?
1) Indien ophopingspunt, dan oneindig veel punten in elk open interval rond a.
2) Indien oneindig veel punten in elk open interval rond a, dan ophopingspunt.
Kan je met 1 beginnen? Er is dan een rij van termen verschillend van a die naar a convergeert.
Kies een willekeurige ε > 0.TD schreef: ↑wo 02 mei 2012, 09:46
Elk open interval rond a moet nog een punt verschillend van a bevatten (waardoor trouwens ook oneindig veel); d.w.z. voor alle k>0, moet je een punt (of oneindig veel punten) verschillend van a in (a-k,a+k) vinden.
Maar wat haal je uit de definitie van de rij, convergent naar a?
Je bedoelt (a-ε,a+ε) (het is immers een strikte ongelijkheid). Je zou best wat explicieter het verband leggen met het interval uit mijn vorig bericht, dáárin wil je immers oneindig veel punten vinden. Begrijp je wat ik bedoel? Je kan de definities wel naast elkaar leggen, maar je moet zo op een of andere manier samen gebruiken.Biesmansss schreef: ↑wo 02 mei 2012, 09:54
Kies een willekeurige ε > 0.
Aangezien de Lim Xk = a, bestaat er een k1 ∈ N zodat |Xk - a| < ε; voor alle k ≥ k1.
We weten dus dat alle elementen Xk, waarvoor k ≥ k1, tot de verzameling [a - ε, a + ε] behoren. Hieruit volgt dat we dus oneindig veel punten rond a hebben verkregen.
Merk op dat de definitie van ophopingspunt a (van een verzameling A) niet vraagt dat a zelf in A moet zitten, enkel dat er een rij in A bestaat die naar a convergeert.Biesmansss schreef: ↑wo 02 mei 2012, 09:54
OT: Waarom is in de verzameling [0,2[ '2' ook een ophopingspunt ? Het is duidelijk dat we willekeurig veel rijen in de verzameling kunnen vinden die naar 2 convergeren. Het kan echter wel enkel langs 1 kant, maar dat is dus voldoende om te besluiten dat het een ophopingspunt is ?
Hoe kan ik dit verband nog explicieter leggen ? En voor de rest is, (1) alleszins, al OK dan ?TD schreef: ↑wo 02 mei 2012, 10:01
Je bedoelt (a-ε,a+ε) (het is immers een strikte ongelijkheid). Je zou best wat explicieter het verband leggen met het interval uit mijn vorig bericht, dáárin wil je immers oneindig veel punten vinden. Begrijp je wat ik bedoel? Je kan de definities wel naast elkaar leggen, maar je moet zo op een of andere manier samen gebruiken.
Merk op dat de definitie van ophopingspunt a (van een verzameling A) niet vraagt dat a zelf in A moet zitten, enkel dat er een rij in A bestaat die naar a convergeert.
Zou je dan deze epsilon kiezen zodatTD schreef: ↑wo 02 mei 2012, 10:50
Mwah...![]()
Je hebt toch wat last met de logische volgorde van de zaken. Je wil dat elk open interval rond a oneindig veel punten verschillend van a bevat. Neem dus zo'n willekeurig open interval, bv. door een willekeurige k>0 te kiezen en (a-k,a+k) te beschouwen. Bevat elk interval van deze vorm (k willekeurig!) oneindig veel...?
Ja, want er convergeert een rijtje naar a. We kunnen dus voor elke e>0 een N vinden zodat alle x(n) met n>N in (a-e,a+e) zitten en dat zijn er natuurlijk oneindig veel. Maar we willen dat ze in (a-k,a+k) zitten (zie hiervoor!), dus...? Wat mag je kiezen? Dus hoe zou je dat kiezen?
Bijgevolg zit (a-e,a+e) volledig binnen (a-k,a+k) zodat dit laatste interval oneindig veel punten... Juist!Biesmansss schreef: ↑wo 02 mei 2012, 11:32
Zou je dan deze epsilon kiezen zodat
0 < e < k ?
Dan is a - k < a - e en a + e < a + k
Bijgevolg zit (a - en a + e) volledig in het interval (a - k, a + k) en van (a - en a + e) weten we dat dit willekeurig veel elementen rond a bevat.
Nee; je moet hier immers de convergentie van de rij niet bewijzen, die is (voor deze implicatie, niet in de andere richting) gegeven! Dus aan de definitie is voldoaan: voor elke epsilon... Kies er dus een die in dit bewijs nuttig is, namelijk e < k met k uit dat willekeurig gekozen open interval. De definitie garandeert het bestaan van een N (of n1) zodat (...) voor elke epsilon, dus ook voor deze die ons 'helpt' in het bewijs.Biesmansss schreef: ↑wo 02 mei 2012, 11:32
Maar tast deze beperking de 'willekeurigheid' van epsilon niet aan ?