[Wiskunde] stoelen
Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
-
- Berichten: 3
[Wiskunde] stoelen
Ha Jongens/Meisjes
In een kamer staan vijf stoelen waarop vijf kinderen zitten. Alle kinderen
staan op en gaan op een andere stoel zitten dan waarop zij zaten.
Op hoeveel manieren kunnen ze nu zijn gaan zitten?
wie kan mij aub helpen met dit probleem?
BVD
LJS
In een kamer staan vijf stoelen waarop vijf kinderen zitten. Alle kinderen
staan op en gaan op een andere stoel zitten dan waarop zij zaten.
Op hoeveel manieren kunnen ze nu zijn gaan zitten?
wie kan mij aub helpen met dit probleem?
BVD
LJS
-
- Berichten: 3
Re: [Wiskunde] stoelen
Op het eerste gezicht zou je zeggen: 5*4*3*2*1, oftewel 5!. Maar omdat de kinderen niet op dezelfde stoel mogen gaan zitten, mag de eerste die op een stoel gaat zitten nog maar op 4 stoelen zitten. En de tweede mag op 4 stoelen gaan zitten, als de eerste gaat zitten op de stoel waarop de tweede eerst zat, anders maar op 3. Oei, is toch ingewikkelder dan ik dacht...
*Is nog even aan het nadenken over dit probleem*
*Is nog even aan het nadenken over dit probleem*
Re: [Wiskunde] stoelen
Dat is het enveloppenprobleem.
Antwoord is dacht ik 5!-4!+3!-2!+1!
Bekijk eerst alle mogelijkheden zonder restrictie.
Haal daarvan af alle mogelijkheden waarbij (minstens) 1 persoon op zijn plek blijft.
Tel daarbij weer op alle mogelijkheden waarbij 2 personen op hun plek blijven enz.
Antwoord is dacht ik 5!-4!+3!-2!+1!
Bekijk eerst alle mogelijkheden zonder restrictie.
Haal daarvan af alle mogelijkheden waarbij (minstens) 1 persoon op zijn plek blijft.
Tel daarbij weer op alle mogelijkheden waarbij 2 personen op hun plek blijven enz.
- Berichten: 8.560
Re: [Wiskunde] stoelen
De eerste persoon kan kiezen uit 4 verschillende stoelen. Er van uitgaande dat deze kiest voor de stoel waar persoon 2 eerst op zat, dan kan deze ook kiezen uit 4 stoelen. De derde persoon kan kiezen uit 2 stoelen. Persoon 4 en persoon 5 kunnen zo nog maar beiden uit 1 stoel kiezen.
Dus: 4*4*2*1*1=16 mogelijkheden.
Dus: 4*4*2*1*1=16 mogelijkheden.
"Meep meep meep." Beaker
- Berichten: 3.507
Re: [Wiskunde] stoelen
De dikgemaakte zin in de quote hierboven volg ik niet.Wouter_Masselink schreef:De eerste persoon kan kiezen uit 4 verschillende stoelen. Er van uitgaande dat deze kiest voor de stoel waar persoon 2 eerst op zat, dan kan deze ook kiezen uit 4 stoelen. De derde persoon kan kiezen uit 2 stoelen. Persoon 4 en persoon 5 kunnen zo nog maar beiden uit 1 stoel kiezen.
Dus: 4*4*2*1*1=16 mogelijkheden.
Als persoon 1 gaat zitten op de stoel van persoon 2, dan hebben deze ieder (persoon 1 en 2) 4 mogelijkheden. Tot zo ver volg ik het nog. Stel dat Persoon 2 de stoel van Persoon 3 uitkiest, dan heeft persoon 3 de keuze uit:
Stoel 1
Stoel 2 niet (bezet)
Stoel 3 niet (bezet)
Stoel 4
Stoel 5
Dus 3 mogelijkheden ipv 2, of niet??
Als deze de stoel van persoon 4 kiest, dan heeft persoon 4 de keuze uit Stoel 1 en 5. Hij zal dan stoel 1 moeten nemen omdat anders persoon 5 niet op een andere stoel komt. Dus wordt de berekening volgens mij:
4*4*3*1*1
I'm not suffering from insanity - I'm enjoying every minute of it!!
- Berichten: 8.560
Re: [Wiskunde] stoelen
inderdaad je hebt gelijk. Ik dacht dat wanneer persoon 3 op de stoel van persoon 4 zou gaan zitten, dat persoon 4 dan op de stoel van persoon 3 zou gaan zitten. Dit hoeft natuurlijk niet zo te zijn.
"Meep meep meep." Beaker
Re: [Wiskunde] stoelen
Stel eerst dat er 4 personen zijn op 4 stoelen.
Ik tel alleen de foute overgangen.
Je hebt daarbij de volgende mogelijkheden:
Allen behouden hun plaats (1 mogelijkheid)
1 persoon verandert van plaats (0 mogelijkheden)
2 personen veranderen van plaats (2 uit 4, dus 4.3/2 = 6 mogelijkheden)
3 personen veranderen van plaats (merk op abc wordt bca of cab, dus 2x 3 uit 4 mogelijkheden = 2.4 = 8 mogelijkheden)
In totaal 15 foute overgangen.
Dus goede overgangen: 4.3.2.1 - 15 = 9 goede overgangen.
Nu 5 personen op 5 stoelen.
0 pers. 1 mogelijkheid
1 pers. 0 m.
2 pers. 5.4/2 = 10 m.
3 pers. 2.5.4/2 = 20 m.
4 pers. 5.9 = 45 m.
Dus in totaal 76 foute overgangen.
Dus aantal goede overgangen is 5.4.3.2.1 - 76 = 44
Ik tel alleen de foute overgangen.
Je hebt daarbij de volgende mogelijkheden:
Allen behouden hun plaats (1 mogelijkheid)
1 persoon verandert van plaats (0 mogelijkheden)
2 personen veranderen van plaats (2 uit 4, dus 4.3/2 = 6 mogelijkheden)
3 personen veranderen van plaats (merk op abc wordt bca of cab, dus 2x 3 uit 4 mogelijkheden = 2.4 = 8 mogelijkheden)
In totaal 15 foute overgangen.
Dus goede overgangen: 4.3.2.1 - 15 = 9 goede overgangen.
Nu 5 personen op 5 stoelen.
0 pers. 1 mogelijkheid
1 pers. 0 m.
2 pers. 5.4/2 = 10 m.
3 pers. 2.5.4/2 = 20 m.
4 pers. 5.9 = 45 m.
Dus in totaal 76 foute overgangen.
Dus aantal goede overgangen is 5.4.3.2.1 - 76 = 44
-
- Berichten: 3
Re: [Wiskunde] stoelen
wat bedoelen jullie nou? ik zie door de bomen het bos niet meer...
van faculteiten weet ik wel het een en het ander maar het "enveloppen probleem" gaat me wat te ver. Wie helpt mij verder?
BVD
LJS
van faculteiten weet ik wel het een en het ander maar het "enveloppen probleem" gaat me wat te ver. Wie helpt mij verder?
BVD
LJS
Re: [Wiskunde] stoelen
Mijn laatste bijdrage is correct. Er komt 44 uit.
Laat ik het nog eens in het algemeen aantonen.
In een kamer staan n stoelen waarop n kinderen zitten. Alle kinderen
staan op en gaan op een andere stoel zitten dan waarop zij zaten.
Dat kan op an manieren.
Het probleem is: Bereken a5.
Er zijn n! manieren waarop de kinderen (al dan niet) van plaats kunnen wisselen.
Die n! manieren bestaan uit:
Het aantal manieren waarop alle kinderen van plaats verwisselen +
het aantal manieren waarop alle kinderen op één na van plaats verwisselen +
het aantal manieren waarop alle kinderen op 2 na van plaats verwisselen + ... +
het aantal manieren waarop geen kinderen van plaats verwisselen +
Nu is het aantal manieren waarop alle kinderen van plaats verwisselen an en
het aantal manieren waarop alle kinderen op één na van plaats verwisselen (n boven 1)an-1 en
het aantal manieren waarop alle kinderen op 2 na van plaats verwisselen (n boven 2)an-2 enz.
Dus n! = (n boven 0)an + (n boven 1)an-1 + ... + (n boven n)a0.
Het is snel in te zien dat a0 = 1, a1 = 0, a2 = 1 en a3 = 2.
Dan is 4! = (4 boven 0)a4 + (4 boven 1)a3 + ... + (4 boven 4)a0 ofwel 24 = a4 + 4.2 + 6.1 + 0 + 1. Dus a4 = 9.
Dan is 5! = (5 boven 0)a5 + (5 boven 1)a4 + ... + (5 boven 5)a0 ofwel 120 = a5 + 5.9 + 10.2 + 10.1 + 0 + 1. Dus a5 = 44.
.
Laat ik het nog eens in het algemeen aantonen.
In een kamer staan n stoelen waarop n kinderen zitten. Alle kinderen
staan op en gaan op een andere stoel zitten dan waarop zij zaten.
Dat kan op an manieren.
Het probleem is: Bereken a5.
Er zijn n! manieren waarop de kinderen (al dan niet) van plaats kunnen wisselen.
Die n! manieren bestaan uit:
Het aantal manieren waarop alle kinderen van plaats verwisselen +
het aantal manieren waarop alle kinderen op één na van plaats verwisselen +
het aantal manieren waarop alle kinderen op 2 na van plaats verwisselen + ... +
het aantal manieren waarop geen kinderen van plaats verwisselen +
Nu is het aantal manieren waarop alle kinderen van plaats verwisselen an en
het aantal manieren waarop alle kinderen op één na van plaats verwisselen (n boven 1)an-1 en
het aantal manieren waarop alle kinderen op 2 na van plaats verwisselen (n boven 2)an-2 enz.
Dus n! = (n boven 0)an + (n boven 1)an-1 + ... + (n boven n)a0.
Het is snel in te zien dat a0 = 1, a1 = 0, a2 = 1 en a3 = 2.
Dan is 4! = (4 boven 0)a4 + (4 boven 1)a3 + ... + (4 boven 4)a0 ofwel 24 = a4 + 4.2 + 6.1 + 0 + 1. Dus a4 = 9.
Dan is 5! = (5 boven 0)a5 + (5 boven 1)a4 + ... + (5 boven 5)a0 ofwel 120 = a5 + 5.9 + 10.2 + 10.1 + 0 + 1. Dus a5 = 44.
.
-
- Berichten: 114
Re: [Wiskunde] stoelen
Nee, je moet kijken hoeveel mogelijkheden er maximaal zijn! dus je moet gewoon 4 mogelijkheden nemen, en niet 3 8)rensd schreef:Op het eerste gezicht zou je zeggen: 5*4*3*2*1, oftewel 5!. Maar omdat de kinderen niet op dezelfde stoel mogen gaan zitten, mag de eerste die op een stoel gaat zitten nog maar op 4 stoelen zitten. En de tweede mag op 4 stoelen gaan zitten, als de eerste gaat zitten op de stoel waarop de tweede eerst zat, anders maar op 3. Oei, is toch ingewikkelder dan ik dacht...
*Is nog even aan het nadenken over dit probleem*
-
- Berichten: 123
Re: [Wiskunde] stoelen
Iets soortgelijks is ook al een keer behandeld in dit topic
"Simplicity does not come of itself but must be created."
Re: [Wiskunde] stoelen
Inderdaad, hetzelfde probleem.Iets soortgelijks is ook al een keer behandeld in dit topic
Er wordt wel een antwoord gegeven, maar niet hoe je eraan komt.
Er worden 2 formules genoemd
an = (n-1)(an-1 + an-2)
en de formule van Euler
an = nan-1 + (-1)n
Die formules zijn makkelijk te bewijzen met mijn formule
n! = (n boven 0)an + (n boven 1)an-1 + ... + (n boven n)a0.
Het probleem heeft iets te maken met het getal e = 2,7172... zoals werd opgemerkt. Dat heeft te maken met het enveloppenprobleem dat erg veel op dit probleem lijkt. "Een postbode heeft n geadresseerde enveloppen en n bijbehorende brieven. Hij doet de brieven zonder te kijken willekeurig in de enveloppen. Wat is de kans dat er minstens 1 brief in een goede envelop zit". (antwoord 1/e, maar om precies te zijn 1/2! - 1/3! + 1/5! - ... 1/n!) Met de techniek waarop je het enveloppenprobleem oplost kun je ook bovenstaand probleem oplossen.
De oplossing voor 5 stoelen is 5!(1/2! - 1/3! + 1/4! - 1/5!) = 44.
Deze uitkomst krijg je ook door de inverse te nemen van mijn formule. (een techniek die niet zo bekend is).
- Berichten: 3.507
Re: [Wiskunde] stoelen
Maar PeterPan, als ik dit verhaal doorneem, kom ik uit op 48 mogelijkheden. En op het verhaal is (met mijn 10 jaar oude HAVO-3 Wiskunde) niet veel op te merken. Of moet het helemaal niet vermenigvuldigd worden?
I'm not suffering from insanity - I'm enjoying every minute of it!!
-
- Berichten: 7.072
Re: [Wiskunde] stoelen
Het verhaal gaat fout omdat het een aanname doet die niet klopt. Het aantal mogelijke stoelen waaruit persoon 3 kan kiezen is namelijk niet constant. Het is soms twee (als persoon 1 en 2 op stoel 2 en 1 zitten) en het is soms drie (als of persoon 1 of persoon 2 op stoel 3 gaat zitten). Je zult hier rekening mee moeten houden in je redenatie.Maar PeterPan, als ik dit verhaal doorneem, kom ik uit op 48 mogelijkheden.
Het correcte antwoord is 44 (zoals PeterPan heeft laten zien).