Draaiend ei in koekenpan

[Professor Puntje]

Juist - als ik het goed begrijp zorg je ervoor dat de schijf periodiek meer tegen het vlak aangedrukt wordt aan de kant waar dat via de zo gegenereerde extra wrijving een moment oplevert dat de schijf tegengesteld aan de cirkelbeweging van het vlak doet draaien.
 
Dan hebben we ook nog het punt dat de schijf niet (blijvend) uit de bocht mag vliegen...

[Xilvo]

M'n intuïtie zegt me, dat wegens symmetrie, dit niet gebeurt. Met mogelijk een uitzondering voor de aanloop, het opstarten.
Dan zou een tijdelijke helling de gemiddelde snelheid op nul kunnen brengen.
 
Nogmaals, volgens m'n natuurkundige intuïtie, géén bewijs!

[Professor Puntje]

Er zou toch een netto centripetale kracht op de schijf moeten werken om te zorgen dat die dezelfde cirkelbaan als het vlak blijft volgen...?

[Xilvo]

De pan gaat even vaak en even ver van links naar rechts als omgekeerd. Hetzelfde geldt voor van voor naar achter en terug.
Over de tijd gemiddeld is de netto kracht dan nul, volgens mij, en dus ook de netto verplaatsing.
 
Wel onder voorwaarde dat je aan het begin aanloopeffecten corrigeert.
Beweeg je, uit stilstand, de pan naar links, dan krijgt de schijf een snelheid naar links die weer nul is na bewegen van de pan naar rechts. Blijf je dat herhalen dan wandelt de schijf naar links het beeld uit. Dat mag natuurlijk niet.
 
Zolang de schijf/het ei intact blijft weerstaat het de centrifugale krachten door het roteren 

[Professor Puntje]

Hoeft het schijfje of ei bij jou dan niet de cirkelbaan van het bewegende V'- of koekenpan-vlak te volgen?

[Xilvo]

Jazeker! Anders zwaait er wat!
 
Maar je kunt de pan toch heen-en-weer bewegen waarbij het ei glijdend die beweging een beetje overneemt maar gemiddeld op z'n plaats blijft?
Dan kun je het ook in een richting loodrecht erop doen.
 
Als je tenslotte beide tegelijk doet, maar π/2 uit fase, dan maak je een cirkelbeweging waarbij het ei gemiddeld nog steeds op z'n plaatst blijft.

[Professor Puntje]

Dit wordt heel verwarrend. Beschrijft het middelpunt van het ei bij jou ook net als de pan een cirkelbaan? 

[Xilvo]

Ja.
 
Maar wat is verwarrend?

[Professor Puntje]

De cirkelbaan van het ei is volgens mij alleen mogelijk wanneer er op het ei ook een centripetale kracht werkt. En een goeie kandidaat voor het bewerkstelligen van die centripetale kracht lijkt mij dan dat de pan rondgaande in de cirkelbaan steeds zo schuin wordt gehouden dat het voor het ei is alsof dat langs een steile wand glijdt.

[Xilvo]

\( x' = \mbox{R} \cos(\omega t) + x\)

\( y' = \mbox{R} \sin(\omega t) + y\)

 
Als vector (verder p voor positie, _p voor pan) is de positie van de pan:

\( \vec{p}_p=\left| \begin{array}{c}x' \\ y' \end{array}\right|\)

 
en de snelheid v:
 

\( \vec{v}_p=\frac{d\vec{p}_p}{dt}=\left| \begin{array} {c} {-\mbox{R}\omega \sin(\omega t)} \\ {\mbox{R}\omega \cos(\omega t)}\end{array}\right|\)

 
 
Als je alleen met de dynamische wrijvingskracht te maken hebt (het ei glijdt voortdurend), grootte c_f , dan is alleen de richting van die snelheid van belang

\(\vec{F}_f=c_f.\frac{\vec{v}_p}{|\vec{v}_p|}=c_f.\hat{v}_p=c_f.\left| \begin{array}{c}{- \sin(\omega t)} \\ { \cos(\omega t) } \end{array}\right| \)

 
De versnelling van het ei a_e wordt dan
 

\(\vec{a}_e=\frac{\vec{F}_f}{m_e}\)

 
Twee keer integreren
 

\(\vec{v}_e=c_f.\hat{v}_p=\frac{c_f}{m_e.\omega^2}.\left| \begin{array}{c}{ \sin(\omega t)} \\ {- \cos(\omega t) } \end{array}\right|+\vec{v}_{0,e}.t+\vec{p}_{0,e}\)

 
De eerste term beschrijft een cirkelbeweging. De tweede een lineaire beweging die nul gemaakt kan worden door de begincondities (aanloop) goed te kiezen, en de laatste een statische verplaatsing.
 
Het is niet bijzonder rigoureus, voor de kracht moet bijvoorbeeld de richting van de verschilsnelheid tussen ei en pan genomen, dus dit gaat alleen op voor niet te grote bewegingen van het ei.
 
Maar dit is alleen bedoeld om aannemelijk te maken dat het ei niet 'de pan uitvliegt'.

[Professor Puntje]

Die wrijving met de koekenpan is nog best een lastig verhaal! Maar volgens mij kan een hypothetisch met de koekenpan meebewegend ei dat ook zelf roteert (bij afwezigheid van wiebelen) vanuit die wrijving enkel een tegenwerkend koppel ondervinden en geen netto kracht. Zie:
 

ei.png (21.22 KiB) 1739 keer bekeken

[Xilvo]

Maar volgens mij kan een hypothetisch met de koekenpan meebewegend ei dat ook zelf roteert (bij afwezigheid van wiebelen) vanuit die wrijving enkel een tegenwerkend koppel ondervinden en geen netto kracht. 

 
Ongetwijfeld. Als die rotatie niet voortdurend in stand gehouden wordt sterft die snel uit door wrijving.
 
Correctie voor bericht #160 (zó veel al?):
Na twee keer integreren krijg je natuurlijk de positie als functie van de tijd, niet de snelheid.
 

\(\vec{p}_e=\frac{c_f}{m_e.\omega^2}.\left| \begin{array}{c}{ \sin(\omega t)} \\ {- \cos(\omega t) } \end{array}\right|+\vec{v}_{0,e}.t+\vec{p}_{0,e}\)

[Professor Puntje]

Als gevolg van de wrijving zal een eventuele (begin)rotatie van het ei - als we verder niet wiebelen - inderdaad moeten uitsterven. Daarna zal het ei dan als de wrijving daar voldoende groot voor is simpelweg met de pan worden meegevoerd. Het ei zal dan ten opzichte van de pan niet meer bewegen, en de wrijvingskracht kan in die statische omstandigheid alle (horizontale) richtingen op wijzen die voor het meetrekken of duwen van het ei maar nodig zijn.

 

Maar dat is niet de situatie (met het tegengesteld draaiende ei) die we hier te verklaren hebben.
 
Je afleiding gaat uit van een ten opzichte van de pan bewegend ei, wat overeen komt met wat ik ook zelf heb waargenomen. Maar de eigenlijk afleiding kan ik niet helemaal volgen. Zou het ei volgens jou berekening moeten bewegen in een cirkel met de onderstaande straal?

 

\( \frac{c_f}{m_e.\omega^2} \)

 
Is dat gelijk aan R? En ten opzichte van welke stelsel is dat berekend?

[Xilvo]

Zou het ei volgens jou berekening moeten bewegen in een cirkel met de onderstaande straal?
 

\( \frac{c_f}{m_e.\omega^2} \)

 
Klopt.
 

Is dat gelijk aan R? En ten opzichte van welke stelsel is dat berekend?

 
Doordat het ei glijdt zal dat kleiner zijn dan R; de aanname in de berekening was dat dit een stuk kleiner is dan R.
Het doel was niet om die baan exact te bepalen maar om te laten zien dat het ei niet wegvliegt.
 
Het is berekend t.o.v. een statisch stelsel dat we eerder V hebben genoemd; niet t.o.v. de panbodem dus.

[Professor Puntje]

Zal het ei nu ook volgens jou bij afwezigheid van een wiebelbeweging tegen de rand van de pan botsen?