Stel je hebt volgend systeempje, een locomotief, een wagon en in de wagon een lading. Alles is met veren aan elkaar verbonden. Er is geen demping. (de veer tussen de wagon en de trein heeft een waarde k).
Als ik de vergelijkingen opstel krijg ik:
\(m\,\ddot{x_1}+k\,x_1=F + k\,x_2\)
\(m\,\ddot{x_2}+2\,k\,x_2=k\,x_1+\frac{k}{2}x_3+\frac{k}{2}x_4\)
\(\frac{m}{2}\ddot{x_3}+k\,x_3=\frac{k}{2}x_2+\frac{k}{2}x_4\)
\(\frac{m}{2}\ddot{x_4}+k\,x_4=\frac{k}{2}x_2+\frac{k}{2}x_3\)
Of in matrix vorm:
\(\underline{\underline{M}}\,\ddot{\underline{x}}+\underline{\underline{K}}\,\underline{x}=\underline{F}\)
\(\begin{bmatrix}
m & 0 & 0 & 0\\
0 & m & 0 & 0\\
0 & 0 & \frac{m}{2} & 0\\
0 & 0 & 0 & \frac{m}{2}\\
\end{bmatrix}\ddot{\underline{x}}+\begin{bmatrix}
k & -k & 0 & 0\\
-k & 2\,k & -\frac{k}{2} & -\frac{k}{2}\\
0 & -\frac{k}{2} & k & -\frac{k}{2}\\
0 & -\frac{k}{2} & -\frac{k}{2} & k\\
\end{bmatrix}\underline{x}=\begin{bmatrix}
F\\
0\\
0\\
0\\
\end{bmatrix}\)
Ok en dan nu de resonantie frequenties berekenen:,
Door de kracht weg te laten en het te transformeren naar het frequentie domein:
\(-\omega^2\,\underline{\underline{M}}\,\underline{X}+ \underline{\underline{K}}\,\underline{X}=0\)
\(\underline{\underline{M}}^{-1}\,\underline{\underline{K}}\,\underline{X}=\omega^2\,\underline{X}\)
En dus door de eigenwaarde van de matrix links uit te rekenen krijg ik:
\(\omega^2 = \begin{bmatrix}
0 & \frac{k}{m} & \frac{3\,k}{m} & \frac{3\,k}{m}\\
\end{bmatrix}\)
Dat betekent dat er een "dubbele" resonantie frequentie is op
\(\sqrt{\frac{3\,k}{m}}\).
Mijn probleem is nu dat bij die eigenwaarde ook eigenvectoren horen.
Die eigenvectoren zijn de modevormen (hoe het systeem beweegt in resonantie),
maar welke modevorm gaat er dan voor komen?
Het lijkt me niet zo intuïtief hoe het systeem nu gaat bewegen op die frequentie.
Of heb ik ergens een fout gemaakt waardoor mijn oplossing niet klopt?