de verdelingswet van Maxwell Boltzmann
Moderator: physicalattraction
- Pluimdrager
- Berichten: 6.629
de verdelingswet van Maxwell Boltzmann
Ik ben begonnen met deel 6 van de serie fundsmentele natuurkunde ""Statistische mechanica.
Ik probeer de afleiding van de verdelingswet van Maxwell Boltzman te snappen.
Het eerste opstakel is de formule van Stirling\
Ln(x !)=x.Ln(x)-x
Geldt dit vooe hele grote waarden van x ? en hoe komen ze aan die formule?
Ik probeer de afleiding van de verdelingswet van Maxwell Boltzman te snappen.
Het eerste opstakel is de formule van Stirling\
Ln(x !)=x.Ln(x)-x
Geldt dit vooe hele grote waarden van x ? en hoe komen ze aan die formule?
-
- Berichten: 337
Re: de verdelingswet van Maxwell Boltzmann
De formule van Stirling is inderdaad een benadering voor de natuurlijke logaritme van de faculteit van een getal,
ln(𝑥!) die vooral nuttig is voor grote waarden van 𝑥
De volledige vorm van Stirling's benadering luidt als volgt:
ln(𝑥!) die vooral nuttig is voor grote waarden van 𝑥
De volledige vorm van Stirling's benadering luidt als volgt:
\(\ln(x!) \approx x \ln(x) - x + \frac{1}{2} \ln(2\pi x) + \frac{1}{12x} - \frac{1}{360x^3} + \ldots\)
De afleiding is wat lastig.- Pluimdrager
- Berichten: 6.629
Re: de verdelingswet van Maxwell Boltzmann
dit differentieren zou niet zo moeilijk moeten zijn , maar dit snap ik niet.?
- Berichten: 2.817
Re: de verdelingswet van Maxwell Boltzmann
hint:
$$ln(n_i / g_i) = ln(n_i) - ln(g_i) $$
leid nu eens af naar \(n_i\)...
$$ln(n_i / g_i) = ln(n_i) - ln(g_i) $$
leid nu eens af naar \(n_i\)...
-
- Berichten: 1.336
Re: de verdelingswet van Maxwell Boltzmann
Hoe ik dit intuïtief onthoud is dat ln(x!) gelijk is aan ln(x) + ln(x-1) + ln(x-2) + ... + ln(1). Deze som kun je met een integraal benaderen: de integraal van ln(x). Dat is precies x*ln(x)-x.aadkr schreef: ↑zo 24 mar 2024, 13:17 Ik ben begonnen met deel 6 van de serie fundsmentele natuurkunde ""Statistische mechanica.
Ik probeer de afleiding van de verdelingswet van Maxwell Boltzman te snappen.
Het eerste opstakel is de formule van Stirling\
Ln(x !)=x.Ln(x)-x
Geldt dit vooe hele grote waarden van x ? en hoe komen ze aan die formule?
- Pluimdrager
- Berichten: 6.629
Re: de verdelingswet van Maxwell Boltzmann
wnvl1, ik begrijp het gewoon niet. bedankt voor de hulp maar dit is voor mij te moeilijk.
- Berichten: 2.817
Re: de verdelingswet van Maxwell Boltzmann
De vraag is alleen maar waarom die \(g_i\) verdwijnt? Of is de vraag ruimer?
Het eerste is heel eenvoudig.
Leid eens ln(x/7) af. Je gaat zien dat die 7 vanzelf verdwijnt. Dat kan je dan heel eenvoudig uitbreiden naar de afgeleide naar n van ln(n/g) met g een constante.
Het eerste is heel eenvoudig.
Leid eens ln(x/7) af. Je gaat zien dat die 7 vanzelf verdwijnt. Dat kan je dan heel eenvoudig uitbreiden naar de afgeleide naar n van ln(n/g) met g een constante.
- Pluimdrager
- Berichten: 6.629
Re: de verdelingswet van Maxwell Boltzmann
d(Ln P)/dnI=d(lnP)/dP.dP/dnI=1/P .dP/dni
hier gaat het al fout
hier gaat het al fout
- Berichten: 2.817
Re: de verdelingswet van Maxwell Boltzmann
Wat je schrijft is juist, maar dat is niet echt een stap vooruit. Beter direct ln P afleiden ipv om te zetten naar een afgeleide van P via de kettingregel.
- Pluimdrager
- Berichten: 6.629
Re: de verdelingswet van Maxwell Boltzmann
wnvl1 en flappelap, hartelijk bedankt voor de hulp. nu zie ik het ook.Er is gebruik gemaakt van d(u.v)=u.dv+du.v
en d (ln (gi/ni))/dni=1/ni
dus
d(Ln(gi/ni))=dni/ni
en d (ln (gi/ni))/dni=1/ni
dus
d(Ln(gi/ni))=dni/ni