Experimenten met optische bench

[Michel Uphoff]

Kan je de diverse gebruikte symbolen even netjes benoemen?
Zo is het voor mij heel lastig lezen.

[Professor Puntje]

In de tekening staan al aangegeven:
 
- De hoeken i (van inval), b (van breking) en θ (van verdraaiing van het glasplaatje)
- De afstanden t (dikte glasplaatje), S (de "horizontaal" afgelegde afstand in het glas) , AB, BC en AC
 
Verder hebben we:
 
- c is de lichtsnelheid in vacuüm
- n is de brekingsindex van glas
- λ is de golflengte van het gebruikte licht
- N is het aantal golflengten die de aankomende lichtstraal verschuift als gevolg van het verdraaien van het glasplaatje over de hoek θ

[Michel Uphoff]

Ik zie er geen fouten in.
 
Inmiddels heb ik de fout in mijn redenering wel gevonden:
Het extra pad dat het licht door het glasplaatje aflegt a.g.v. de hoek van 45 graden is niet eenvoudigweg 2 * (√2-1) * 0,14 mm (A-D in de afbeelding) maar een stuk korter (B-D in de afbeelding). Dat verhoogt de uitkomst voor de brekingsindex natuurlijk.
 

3.jpg (63.72 KiB) 1669 keer bekeken

[Professor Puntje]

Gaat het je alleen om het geval θ = 45º ?
 
Mogelijk is er dan wel (zonder een enorme rekenpartij) een formule te vinden...?

[Michel Uphoff]

Dat is wat mij betreft afdoende.

[Professor Puntje]

licht2.png (10.25 KiB) 1672 keer bekeken

 

Voor θ = i = 45º = π/4 (rad) vinden we:

\( N \lambda = 2 \{ ( \mbox{AC} \cdot \mbox{n} - \mbox{S} ) - ( \mbox{t} \cdot \mbox{n} - \mbox{t} ) \} \)

\( \frac{N \lambda}{2} = ( \mbox{AC} \cdot \mbox{n} - \mbox{S} ) - ( \mbox{t} \cdot \mbox{n} - \mbox{t} ) \)

\( \frac{N \lambda}{2} = ( \mbox{AC} \cdot \mbox{n} - \mbox{S} ) - \mbox{t} \cdot (\mbox{n} - 1) \)

\( \frac{N \lambda}{2} + \mbox{t} \cdot (\mbox{n} - 1) = \mbox{AC} \cdot \mbox{n} - \mbox{S} \)

\( \frac{N \lambda}{2} + \mbox{t} \cdot (\mbox{n} - 1) = \mbox{AC} \cdot \mbox{n} - \mbox{AC} \cos \left ( \frac{\pi}{4} - b \right ) \)

\( \frac{N \lambda}{2} + \mbox{t} \cdot (\mbox{n} - 1) = \mbox{AC} \cdot \left \{ \mbox{n} - \cos \left ( \frac{\pi}{4} - b \right ) \right \} \)

 

Verder hebben we:

 

\( (\mbox{AC})^2 = {\mbox{t}^2 + (\mbox{AC} \sin(b))^2 \)

 

\( (\mbox{AC})^2 = {\mbox{t}^2 + \left (\mbox{AC} \, \frac{\sin(i)}{\mbox{n}} \right )^2 \)

 

\( (\mbox{AC})^2 = {\mbox{t}^2 + (\mbox{AC})^2 \, \frac{\sin^2(\theta)}{\mbox{n}^2} \)

 

\( (\mbox{AC})^2 \, \left (1 \, - \, \frac{\sin^2(\theta)}{\mbox{n}^2} \right ) = {\mbox{t}^2 \)

 

\( (\mbox{AC})^2 \, \left (1 \, - \, \frac{1}{2 \mbox{n}^2} \right ) = {\mbox{t}^2 \)

 

\( (\mbox{AC})^2 = \frac{ \mbox{t}^2 }{ 1 \, - \, \frac{1}{ 2 \mbox{n}^2 } } \)

 

\( \mbox{AC}= \frac{ \mbox{t}}{\sqrt{ 1 \, - \, \frac{1}{ 2 \mbox{n}^2 }} } \)

 

 

 

\( b = \arcsin(\sin(b)) \)

 

\( b = \arcsin \left ( \frac{\sin(i)}{\mbox{n}} \right ) \)

 

\( b = \arcsin \left ( \frac{\sqrt{2}}{2 \mbox{n}} \right ) \)

 

 

 

Dat ziet er niet fijn uit. Ik heb dan ook mijn twijfels of de formule uit je link wel klopt. (Of hebben we iets over het hoofd gezien?) Wat we nog wel kunnen doen is N als een functie van n schrijven. Zodra je die grafiek hebt kun je dan n bij gegeven N terugzoeken.

 

 

\( \frac{N \lambda}{2} + \mbox{t} \cdot (\mbox{n} - 1) = \mbox{AC} \cdot \left \{ \mbox{n} - \cos \left ( \frac{\pi}{4} - b \right ) \right \} \)

 

\( \frac{N \lambda}{2} = \mbox{AC} \cdot \left \{ \mbox{n} - \cos \left ( \frac{\pi}{4} - b \right ) \right \} - \mbox{t} \cdot (\mbox{n} - 1) \)

 

\( N = \frac{2}{\lambda} \cdot \left ( \mbox{AC} \cdot \left \{ \mbox{n} - \cos \left ( \frac{\pi}{4} - b \right ) \right \} - \mbox{t} \cdot (\mbox{n} - 1) \right ) \)

 

\( N = \frac{2}{\lambda} \cdot \left ( \frac{ \mbox{t}}{\sqrt{ 1 \, - \, \frac{1}{ 2 \mbox{n}^2 }} } \cdot \left \{ \mbox{n} - \cos \left ( \frac{\pi}{4} - \arcsin \left ( \frac{\sqrt{2}}{2 \mbox{n}} \right ) \right ) \right \} - \mbox{t} \cdot (\mbox{n} - 1) \right ) \)

 

 

(Misschien is er ook nog iets met het Principe van Fermat mogelijk, maar met die aanpak ben ik niet bekend.)

[Michel Uphoff]

Ik heb nog eens goed naar die formule gekeken. De term N².λ²/4t heeft nauwelijks invloed (lamda² is natuurlijk vreselijk klein), en kan i.t.t. wat in de link beschreven werd weggelaten worden voor een toch zeer nauwkeurig resultaat:

Volgens de link zou de afwijking bij 30 graden op kunnen lopen tot 1%: "increases with θ, reaching ~1% at θ = 30°", maar dat klopt niet.

Ik heb het voor een aantal hoeken nagerekend, en de de invloed van die term blijft in het bereik tussen 1 tot 89 graden zeer beperkt: 1.10^-9 tot 2.10^-10, en is dus zo goed als verwaarloosbaar.

Dat levert dan een vereenvoudiging op tot:

\(n=\frac{(2t-N\lambda )(1-cos \theta )}{2t(1-cos \theta )-N\lambda }\)

Deze formule wordt ook elders gebruikt, zie de bijlage over dit onderwerp pagina 16. Deze vereenvoudigde formule komt kennelijk uit:

Monk, George S. "Light-Principles and experiments." McGraw Hill Book Company, NY & London (1937)

Ik mag aannemen dat ze dus correct is. Maar ook in het attached paper wordt ze niet afgeleid.

 

Paper:

A Michelson interferometric technique for measuring refractive index.pdf

(1.79 MiB) 6544 keer gedownload

[Professor Puntje]

Ik moet het nog bestuderen, maar dit lijkt op een afleiding:
 
https://archive.org/details/in.ernet.dli.2015.212224/page/n387

[Michel Uphoff]

Inderdaad, daar is de afleiding van George Monk.
De extra term mag gezien zijn verwaarloosbare invloed weggelaten worden.
 
Ok! We zijn er uit, en mijn gemeten brekingsindex klopt O:).
 
Dank voor het meedenken!

[Professor Puntje]

Hier screenshots van de relevante bladzijden:
 

1.png (468.03 KiB) 1673 keer bekeken

  

2.png (520.46 KiB) 1673 keer bekeken

 
bron: https://archive.org/details/light032647mbp/page/n363

[Professor Puntje]

Ik kan de afleiding volgen op de onderstaande stap na:
 

stap.png (64.6 KiB) 1671 keer bekeken

 
Dat is nog even een puzzeltje.

[Professor Puntje]

De oorspronkelijke vraag van Michel is nu al naar tevredenheid beantwoord. Maar mij interesseert ook de wiskunde achter de stap in het vorige berichtje nog. Ik zal daar een apart wiskundig topic over openen.
Zie: https://www.wetenschapsforum.nl/index.php/topic/206727-moeilijke-stap-in-bewijs/