Voor N deeltjes met massa's m
1, m
2 t/m m
N en plaatsvectoren
\( \vec{x}_1 \),
\( \vec{x}_2 \) t/m
\( \vec{x}_N \) is de totale impuls
\( \vec{p} \) gelijk aan:
\( \vec{p} = \sum\limits_{i=1}^N \mathrm{m}_i \frac{\mathrm{d} \vec{x}_i}{\mathrm{d} t} \)
De tijdsafgeleide van de totale impuls is:
\( \frac{ \mathrm{d} \vec{p}}{\mathrm{d} t} = \sum\limits_{i=1}^N \mathrm{m}_i \frac{\mathrm{d}^2 \vec{x}_i}{\mathrm{d} t^2} \)
Laat nu
\( V \) de totale potentiële energie van het stelsel van N deeltjes zijn. Dan hebben we wegens de bewegingsvergelijkingen:
\( \frac{ \mathrm{d} \vec{p}}{\mathrm{d} t} = \sum\limits_{i=1}^N - \nabla_i V \)
\(\)
Wegens de translatie-invariantie is V dan te schrijven als een functie U van de argumenten
\( y_{\alpha , \beta , \gamma} \) (waarin
\( \alpha \) en
\( \beta \) lopen van 1 t/m N en
\( \gamma \) van 1 t/m 3) met:
\(\)
\( y_{\alpha , \beta , \gamma} = x_{\alpha}^{\gamma} - x_{\beta}^{\gamma} \)
\(\)
Vervolgens vinden we voor al de
\( \lambda \) van 1 t/m 3 dat:
\(\)
\( \frac{\partial}{\partial x_{\mu}^{\lambda}} \, V = \sum\limits_{\gamma=1}^3 \sum\limits_{\alpha=1}^N\sum\limits_{\beta=1}^N \partial_{\alpha , \beta, \gamma} \, \mathrm{U} \cdot \frac{\partial y_{\alpha , \beta, \gamma} }{\partial x_{\mu}^{\lambda}} \)
\(\)
\( \sum\limits_{\mu=1}^N \frac{\partial}{\partial x_{\mu}^{\lambda}} \, V = \sum\limits_{\mu=1}^N\sum\limits_{\gamma=1}^3 \sum\limits_{\alpha=1}^N \sum\limits_{\beta=1}^N \partial_{\alpha , \beta, \gamma} \, \mathrm{U} \cdot \frac{\partial y_{\alpha , \beta, \gamma} }{\partial x_{\mu}^{\lambda}} \)
\(\)
\( \sum\limits_{\mu=1}^N \frac{\partial}{\partial x_{\mu}^{\lambda}} \, V = \sum\limits_{\gamma=1}^3 \sum\limits_{\alpha=1}^N \sum\limits_{\beta=1}^N \sum\limits_{\mu=1}^N \partial_{\alpha , \beta, \gamma} \, \mathrm{U} \cdot \frac{\partial y_{\alpha , \beta, \gamma} }{\partial x_{\mu}^{\lambda}} \)
\(\)
\( \sum\limits_{\mu=1}^N \frac{\partial}{\partial x_{\mu}^{\lambda}} \, V = \sum\limits_{\gamma=1}^3 \sum\limits_{\alpha=1}^N \sum\limits_{\beta=1}^N \partial_{\alpha , \beta, \gamma} \, \mathrm{U} \cdot \sum\limits_{\mu=1}^N \frac{\partial y_{\alpha , \beta, \gamma} }{\partial x_{\mu}^{\lambda}} \)
\(\)
\( \sum\limits_{\mu=1}^N \frac{\partial}{\partial x_{\mu}^{\lambda}} \, V = \sum\limits_{\gamma=1}^3 \sum\limits_{\alpha=1}^N \sum\limits_{\beta=1}^N \partial_{\alpha , \beta, \gamma} \, \mathrm{U} \cdot \sum\limits_{\mu=1}^N \frac{\partial}{\partial x_{\mu}^{\lambda}} (x_{\alpha}^{\gamma} - x_{\beta}^{\gamma}) \)
\(\)
\( \sum\limits_{\mu=1}^N \frac{\partial}{\partial x_{\mu}^{\lambda}} \, V = \sum\limits_{\gamma=1}^3 \sum\limits_{\alpha=1}^N \sum\limits_{\beta=1}^N \partial_{\alpha , \beta, \gamma} \, \mathrm{U} \cdot \sum\limits_{\mu=1}^N (\delta_{\mu,\alpha} \,\delta_{\lambda,\gamma} \, - \, \delta_{\mu,\beta} \, \delta_{\lambda,\gamma} ) \)
\(\)
\( \sum\limits_{\mu=1}^N \frac{\partial}{\partial x_{\mu}^{\lambda}} \, V = \sum\limits_{\gamma=1}^3 \sum\limits_{\alpha=1}^N \sum\limits_{\beta=1}^N \partial_{\alpha , \beta, \gamma} \, \mathrm{U} \cdot \delta_{\lambda,\gamma} \cdot \sum\limits_{\mu=1}^N (\delta_{\mu,\alpha} \, \, - \, \delta_{\mu,\beta}) \)
\(\)
\( \sum\limits_{\mu=1}^N \frac{\partial}{\partial x_{\mu}^{\lambda}} \, V = \sum\limits_{\gamma=1}^3 \sum\limits_{\alpha=1}^N \sum\limits_{\beta=1}^N \partial_{\alpha , \beta, \gamma} \, \mathrm{U} \cdot \delta_{\lambda,\gamma} \cdot \left ( \sum\limits_{\mu=1}^N \delta_{\mu,\alpha} \, \, - \,\, \sum\limits_{\mu=1}^N \delta_{\mu,\beta} \right ) \)
\(\)
\( \sum\limits_{\mu=1}^N \frac{\partial}{\partial x_{\mu}^{\lambda}} \, V = \sum\limits_{\gamma=1}^3 \sum\limits_{\alpha=1}^N \sum\limits_{\beta=1}^N \partial_{\alpha , \beta, \gamma} \, \mathrm{U} \cdot \delta_{\lambda,\gamma} \cdot ( 1 - 1 ) \)
\(\)
\( \sum\limits_{\mu=1}^N \frac{\partial}{\partial x_{\mu}^{\lambda}} \, V = \sum\limits_{\gamma=1}^3 \sum\limits_{\alpha=1}^N \sum\limits_{\beta=1}^N \partial_{\alpha , \beta, \gamma} \, \mathrm{U} \cdot \delta_{\lambda,\gamma} \cdot 0 \)
\(\)
\( \sum\limits_{\mu=1}^N \frac{\partial}{\partial x_{\mu}^{\lambda}} \, V = 0 \)
\(\)
Zodat:
\( \sum\limits_{i=1}^N - \nabla_i V = \vec{0} \)
\(\)
\( \frac{ \mathrm{d} \vec{p}}{\mathrm{d} t} = \vec{0} \)