Exploring Black Holes: Introduction to General Relativity

[Gast]

Wat me handig lijkt is om de geometrische eenheden (soms) te converseren naar SI eenheden. Dan kun je het beter checken.

Ook levert het gebruik van geometrische eenheden eigenlijk maar weinig toe aan het simplificeren/sneller werken.

[Professor Puntje]

Die geometrische eenheden zijn handig als rekentruc voor professionele relativisten die dagelijks uitgebreide relativistische berekeningen maken. Maar voor ons als amateurs/beginners zijn ze vooral verwarrend, en voegen ze ook niets toe aan ons begrip van de theorie. Persoonlijk zou ik er al blij mee zijn als ik de basis van de ART begrijp. Ik vind het zinloos mij verder in die geometrische eenheden te verdiepen.

[Professor Puntje]

Ik moet de bestudeerde stof tot nog toe even laten bezinken, want het wordt me wat te veel. Waarschijnlijk ga ik daarna dan verder met de papieren versie zodat ik niet meer uren achtereen naar mijn computerscherm hoef te turen.

[Gast]

Ja joh. Niet te snel willen, dan onthoudt je het ook beter. En ook van papier onthou je het beter heb ik begrepen.
En het moet eigenlijk geen obsessie worden hè .. er zijn meer dingen in het leven.

Maar het komt over dat je er wel plezier aan beleeft en het goed voor je te volgen is dus.

Hoe ver ben je nu?

[Professor Puntje]

De uitleg van de Schwarzschild metriek heb ik gehad en kon ik ook volgen. Maar bij de toepassing van die metriek voor het doorrekenen van GPS begon het mij te duizelen. Ik denk dat ik er goed aan doe de papieren eerste editie van het boek gewoon weer vanaf het begin door te lezen. Dan kan ik alles wat ik in de pdf al heb gehad nog eens rustig voor een tweede keer de revue laten passeren. Vaak begrijp ik het dan nog beter.

[Gast]

Welk hoofdstuk is dat?

(Dat van mij ligt nog steeds in de doos :S). Maar zoals jij en Dale en iedereen eigenlijk adviseerde, moet ik toch heel rustig aan en in kleine stapjes. Dus eerst jouw uitleg over Shapiro vertraging en Dale's (uitgebreide) uitleg over Minkowski ruimtes.

Zo te lezen heb jij er zelf trouwens ook wel eens moeite mee niet teveel te willen.

[Professor Puntje]

Hoofdstuk 2. Maar ik werk nu met de papieren eerste editie van het boek, en die is beknopter dan de tweede editie. Als het goed is moet je het via de index kunnen vinden.

Mijn oorspronkelijke doel was om alle takken van wetenschap te beheersen. Veel gekker kun je het niet maken....

[Gast]

Nou ik vind dat niet gek. Je hebt gewoon een intense nieuwsgierigheid naar hoe het heelal in mekaar steekt.

Ik denk dat de meeste fysici dat hebben en zich dan in een bepaald gebied zijn gaan specialiseren.

Alleen overal in specialiseren als autodidact wordt wel een opgave van jewelste!

[Professor Puntje]

Gegeven:

Een helikopter bevindt zich gedurende een tijd T in relatieve rust op een hoogte h boven het aardoppervlak. Deze hoogte h is veel kleiner dan de straal R van de aarde met massa M. Het verschil tussen de gereduceerde omtrek van de aarde en de feitelijke straal van de aarde mag worden verwaarloosd. De rotatie van de aarde kan worden genegeerd. Zowel op aarde als in de helikopter bevindt zich een klok. De klok in de helikopter meet de tijd T, en de klok op aarde meet de daarmee corresponderende tijd t_a.

Gevraagd:

Leid een formule af voor t_a als functie van T en h.

[Professor Puntje]

De Schwarzschild metriek toegepast op een vlak door het middelpunt van de aarde voor een klok op een vaste plaats op of boven het aardoppervlak met een afstand r tot het middelpunt van de aarde geeft:

\(\)

\( \mathrm{d} \tau^2 = (1 - \frac{r_s}{r}) \mathrm{d} t^2 \, - \, \frac{ \mathrm{d} r^2 }{(1 - \frac{r_s}{r})} \, - \, r^2 \mathrm{d} \phi^2 \)

\(\)

\( \mathrm{d} \tau^2 = (1 - \frac{r_s}{r}) \mathrm{d} t^2 \, - \, \frac{ 0 }{(1 - \frac{r_s}{r})} \, - \, r^2 \cdot 0 \)

\(\)

\( \mathrm{d} \tau^2 = (1 - \frac{r_s}{r}) \mathrm{d} t^2 \)

\(\)

\( \mathrm{d} \tau = \sqrt{1 - \frac{r_s}{r}} \cdot \mathrm{d} t \)

\(\)

Als zo'n klok tussen twee tikken het infinitesimale versteken tijdje dτ aangeeft dan verstrijkt er volgens een verre waarnemer tussen die twee tikken dus een infinitesimaal tijdje dt.

(Wordt vervolgd.)

[Professor Puntje]

Omdat de verre klokken zich in een bij goede benadering vlakke ruimtetijd bevinden lopen die klokken ten opzichte van elkaar allemaal even snel. Dus kunnen we de snelheden waarmee de klok in de helikopter en die op het aardoppervlak lopen met elkaar vergelijken via de daarmee corresponderende verre klokken. Dit geeft:

\(\)

\( \frac{\mathrm{d} t_a}{ \mathrm{d} t } = \sqrt{1 - \frac{r_s}{\mathrm{R}}} \)

\(\)

\( \frac{\mathrm{d} T}{ \mathrm{d} t } = \sqrt{1 - \frac{r_s}{\mathrm{R} + h}} \)

\(\)

Dus:

\(\)

\( \frac{ \frac{\mathrm{d} t_a}{ \mathrm{d} t } }{ \frac{\mathrm{d} T}{ \mathrm{d} t } } = \frac{ \sqrt{1 - \frac{r_s}{\mathrm{R}}} }{ \sqrt{1 - \frac{r_s}{\mathrm{R} + h}} } \)

\(\)

\( \frac{ \mathrm{d} t_a }{ \mathrm{d} T } = \frac{ \sqrt{1 - \frac{r_s}{\mathrm{R}}} }{ \sqrt{1 - \frac{r_s}{\mathrm{R} + h}} } \)

\(\)

\( \frac{ t_a }{ T } = \frac{ \sqrt{1 - \frac{r_s}{\mathrm{R}}} }{ \sqrt{1 - \frac{r_s}{\mathrm{R} + h}} } \)

\(\)

Maar:

\(\)

\( \frac{r_s}{\mathrm{R}} = \frac{\frac{2 \mathrm{G} \mathrm{M}}{c^2}}{\mathrm{R}} = \frac{2 \mathrm{G} \mathrm{M}}{c^2 \mathrm{R}} \approx 1,4 \cdot 10^{-9} \,\,\, \& \,\,\, h \ll \mathrm{R} \)

\(\)

Zodat:

\(\)

\( \frac{ t_a }{ T } \approx (1 - \frac{r_s}{2 \mathrm{R}}) \cdot (1 + \frac{r_s}{2 (\mathrm{R} + h)} ) \)

\(\)

\( \frac{ t_a }{ T } \approx 1 + \frac{r_s}{2 (\mathrm{R} + h)} - \frac{r_s}{2 \mathrm{R}} - \frac{r_s}{2 \mathrm{R}} \cdot \frac{r_s}{2 (\mathrm{R} + h)} \)

\(\)

\( \frac{ t_a }{ T } \approx 1 + \frac{r_s}{2 (\mathrm{R} + h)} - \frac{r_s}{2 \mathrm{R}} \)

\(\)

\( \frac{ t_a }{ T } \approx 1 + \frac{r_s}{2 \mathrm{R} \cdot (1 + \frac{h}{\mathrm{R}})} - \frac{r_s}{2 \mathrm{R}} \)

\(\)

\( \frac{ t_a }{ T } \approx 1 + \frac{r_s}{2 \mathrm{R}} \cdot (1 - \frac{h}{\mathrm{R}}) - \frac{r_s}{2 \mathrm{R}} \)

\(\)

\( \frac{ t_a }{ T } \approx 1 - \frac{r_s}{2 \mathrm{R}} \cdot \frac{h}{\mathrm{R}} \)

\(\)

\( \frac{ t_a }{ T } \approx 1 - \frac{r_s}{2 \mathrm{R}^2} \cdot h \)

\(\)

\( t_a \approx T - \frac{ r_s}{2 \mathrm{R}^2} \cdot h T \)

[Professor Puntje]

Het stuk in het boek over GPS begrijp ik nu ook. Daarna volgt hoofdstuk 3 Plunging over de val in een Zwart Gat. Ben benieuwd of dat hoofdstuk de vragen die ik daarover nog heb afdoende gaat beantwoorden.

[Gast]

Fanatiek bezig! Top.

[Professor Puntje]

Nadat ik mijn einddoel flink naar beneden bijgesteld heb komt er nu eindelijk wat vaart in.

[Professor Puntje]

Hoofdstuk 3 Plunging heb ik inmiddels ook gelezen en kon ik volgen, maar de bijbehorende opgaven lukten niet. Kennelijk heb ik mij de stof uit dat hoofdstuk door het één keer door te lezen dus nog onvoldoende eigen gemaakt. Eerst dat hoofdstuk nog maar een keer lezen, en daarna weer eens proberen of de opgaven dan wel gaan. Belangrijke les: boeken van dit niveau vereisen zorgvuldige bestudering, en sommige delen zal ik meerdere keren moeten lezen voordat de nieuw geïntroduceerde begrippen en gezichtspunten beklijven.