Eddington en de twee pieken

[Professor Puntje]

Uitgaande van de Eddington formule moet er op het deel van de lichtbaan waarop y ≥ 0 precies één top voor dα/dx zijn op x=0 terwijl er voor y < 0 nog minstens twee extra toppen optreden. (6')

kunnen we dat niet gewoon plotten? dan zie je het vanzelf.

De vraag is dan wat je precies wilt gaan plotten, welke formules ga je invoeren?

[HansH]

De vraag is dan wat je precies wilt gaan plotten, welke formules ga je invoeren?

de formule die jij uit je berekeningen krijgt neem ik aan voor dhhi/dx?

[Professor Puntje]

Dat is formule (5). Probeer nu het rechter lid maar eens als expliciete functie na x te schrijven...

[OOOVincentOOO]

Ik vind het belachelijk dat ik gewoonweg doodgezwegen word. Als men goed te terugleest ben ik de eerste die begonnen is de afgeleiden te nemen om de trajecten te bepalen. Al in het weekeinde heb ik jullie de grafiek laten zien van numerieke diff. en int.

Nu vallen mij de schoenen uit dat men er nu over begint zonder een woord over de aanpak welke ik gestart heb!

Dus hieronder nogmaals:

Eddington: het lichttraject is gegeven in de formule. Linker grafiekje in plotje beneden. Heel wat berichten terug heb ik gedemonstreerd hoe men de deflectie verandering "Gauss" curve kan berekenen. Om niet teveel (omdat sommigen dat niet volgen) in de wiskunde te belanden heb ik in eerdere berichten al numeriek gediff. en geint.

Mathpages:
De traject veradering verdeling is gegeven (grafiek) met twee piekjes. Deze verder gediff. dus van rechter naar linker grafiek. Met als linker grafiek het licht traject.

Geschreven zodat y de deflectie is. Er van uitgaan dat y=R (net zoals document Ukster) omdat lichtstralen verder verwijderd van radius zon kleinere afbuiging hebben zodat:
$$y=\frac{m}{R} \cdot \frac{R^{2}+2x^{2}}{\sqrt{R^{2}+x^{2}}}$$
Mijn houvast (ankerpunt) is dat de totale deflectie steeds de volgende moet zijn. Zo kan ik iedere stap controleren.

$$\Delta c=\frac{4m}{R}$$
Zo blijkt ook uit docu. Ukster dat deze de limiet is en de raaklijnen van y.
Eddington:
Met als uiteindelijk resultaat waarbij functie in de integraal de "Gauss" curve is:
$$\boxed{ \Delta c= \frac{m}{R} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{3 R^{2}}{\left( x^{2}+R^{2}\right)^{5/2}} dx = \dfrac{4m}{R}}$$

Eddington:

1915 Formule (met GR), piek=2, oppervlakte=4:
$$\boxed{\Delta c=mR \int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{4x^{2}+R^{2}}{(x^{2}+R^{2})^{5/2}}dx= \dfrac{4m}{R}}$$

Code: Selecteer alles

Wolfram:
plot (4*x^2+1)/(x^2+1)^(5/2)
integrate (4*x^2+1)/(x^2+1)^(5/2) dx 
plot (2*x^3+x)/(x^2+1)^(3/2)

Dus Eddington was van links naar recht (grafieken) grafieken differentiëren.
Mathworld nu geïntegreerd van rechts naar links.

Uit het bericht van Ukster snap ik nu dat de linker grafiek eigenlijk het traject van de lichtstraal is. Dus in het traject zie je niets terug van piekjes. Volgens mij zijn die piekjes niets anders dan effect benadering Polynomen.

Hierbij numerieke data: rechts formule Mathworld en steeds numerieke integratie naar links.
Mathworld.jpg

Mathpages:

Bij een van mijn eerste berichten had ik al geschreven dat de twee piekjes niet terug te zien zijn in geint. signaal. Toen werd ik ook al "spelbreker" gezien.

Volgens mij zijn die piekjes niets anders dan effect benadering Polynomen. Er is geen definitieve oplossing daar het benaderingin diff. vergelijkingen zijn.

De piekjes hebben totaal geen invloed op het licht traject!

Het is gewoon lachwekkend, ik begin gestructeerd de formules om te schrijven in gelijke vormen. De hele tijd in pricipe doodgezwegen- En nu word opeens gezegd kunnen we niet numeriek kijken? Lees mijn berichten terug en respecteer wie misschien de inspiratie tot systematische probleem aanpak heeft gestart,

Groeten,

Vince

[Professor Puntje]

@ OOOVincentOOO

Het werd erg verwarrend in het andere topic met jouw aanpak, die van HansH en die van mij door elkaar heen lopend allemaal in één topic. Daarom ben ik hier een eigen topic begonnen. Ik zal nu jouw berekening bekijken.

Als ik het goed begrijp neem je de formule van Eddington, vul in het rechter lid R voor y in, en neem je dan twee keer de partiële afgeleide naar x. Je berekent dus de momentane hoekverandering ten opzichte van x voor de benadering dat y vrijwel R is. En die laatste benadering gebruikt MathPages inderdaad ook. Maar wat vindt je dan voor dφ/dx?

@ ukster

En mag ik nu even zuchten? Niemand hier betwijfelt de grootte van de totale afbuiging, en MathPages komt ook op de gebruikelijke waarde uit. En ook in mijn controle van het MathPages artikel kwam ik op de bekende totale afbuiging uit. Daar gaat dit topic dan ook helemaal niet over. Het gaat hier zoals de titel ook aangeeft over de twee pieken in het MathPages artikel en waar die vandaan komen.


@OOOVincentOOO

Jouw bijdragen worden gewaardeerd. Mijn commentaar hierboven gaat niet over jou.

@ OOOVincentOOO

Mag ik je resultaat zo samenvatten dat je uitgaande van de Eddington formule (en van de benadering y=R) in de grafiek van dφ/dx slechts één piek vindt?

Mijn onderzoek lijkt op hetzelfde uit te draaien maar ik wil dat graag nog wiskundig sluitend bewijzen.

Als R naar nul gaat krijg je een zwart gat, dan wordt het allemaal nog een stapje ingewikkelder....

@ OOOVincentOOO

Ik krijg op mijn meeste berichtjes ook nooit reacties. Zo is het leven, de meeste mensen zijn nu eenmaal vooral met hun eigen dingetjes bezig. Ik zou daar niet zo'n probleem van maken.

De factor r_s houd ik er graag in omdat je zo kunt zien of je formules dimensioneel nog kloppen. Dat spaart veel fouten uit.

Dat noem ik geen doodzwijgen. En ook in het andere topic heb ik nog op je gereageerd. Maar goed - als jij het wel zo wenst te zien kan ik dat ook niet helpen.