Eddington en de twee pieken

[Professor Puntje]

Dit topic is een afsplitsing van het topic De 2 pieken nader verklaard. Doel hier is om te bekijken of aan de hand van een formule van Eddington een verklaring kan worden gevonden voor de twee pieken in een grafiek op de site MathPages.

[Bladerunner]

Ahum.. Dus die twee pieken zijn niet nader verklaard? Wordt wel een rommeltje nu he?

[Professor Puntje]

Ik probeer juist te voorkomen dat het een rommeltje wordt door de verschillende manieren om dit probleem aan te pakken gescheiden te houden. In mijn elders gegeven afleiding zijn geen fouten gevonden, dus voorlopig ga ik ervan uit dat die afleiding klopt. Maar dat neemt niet weg dat het gevonden resultaat merkwaardig is en nader onderzoek rechtvaardigt. Of een nadere verklaring (met de nadruk op nadere) van de twee pieken mogelijk is weet ik niet, maar ik doe mijn best om die te vinden. De tijd zal leren waar we op uit komen...

[Bladerunner]

Als er meerdere topics nodig zijn om een probleem aan te kaarten heb ik zo iets van: dit leidt nergens toe. Maar ja, zoals je zegt, de tijd zal het leren. Ik ben benieuwd.

[Professor Puntje]

Even herhalen waar we het over hebben:

1.png (120.05 KiB) 1436 keer bekeken

2.png (101.09 KiB) 1436 keer bekeken

Formule 41.4 is een vergelijking van Eddington die de baan beschrijft van een lichtstraal die rakelings langs de zon scheert.

[Professor Puntje]

Kanttekening:

xeny.png (55.39 KiB) 1417 keer bekeken

Het rood onderstreepte zinsdeel kan alleen kloppen als Eddington x noemt wat wij gewoonlijk y noemen.

[Professor Puntje]

Dit is Eddingtons (41.4):

\( x = R - \frac{m}{R} \frac{ x^2 + 2y^2}{\sqrt{x^2 + y^2}} \)

Maar zoals we in mijn vorige berichtje zagen moeten x en y worden verwisseld om ze te laten corresponderen met onze x en y. Dat geeft:

\( y = R - \frac{m}{R} \frac{ y^2 + 2x^2}{\sqrt{y^2 + x^2}} \)

En daar moeten dan nog natuurconstanten aan worden toegevoegd om het in onze gewone eenheden te schrijven. Als totale afbuiging geeft Eddington 4m/R wat in gewone eenheden (4GM)/(c²R) is. Dus met de gewone eenheden geschreven krijgen we:

\( y = R - \frac{\mathrm{G} \mathrm{M}}{c^2 \mathrm{R}} \frac{ y^2 + 2x^2}{\sqrt{y^2 + x^2}} \,\,\,\,\,\,\, (1) \)

Of bij gebruik van de schwarzschildradius r_s van de zon:

\( y = R - \frac{r_s}{2 \mathrm{R}} \frac{ y^2 + 2x^2}{\sqrt{y^2 + x^2}} \,\,\,\,\,\,\, (1') \)

[Professor Puntje]

Dit is het grafiekje op MathPages waar het allemaal om te doen is:

[Professor Puntje]

Voor de schwarzschildradius r_s en straal R_zon van onze zon hebben we:

\(\)

\( \left. \begin{array} {lcrr} r_s = 2,95.10^3 \, \mathrm{m} \\ \mathrm{R}_{zon} = 7,0.10^8 \, \mathrm{m} \end{array} \right \} \,\,\,\,\,\, (2) \)

Bron: https://en.wikipedia.org/wiki/Schwarzschild_radius

Derhalve geldt voor een lichtstraal die rakelings langs de zon scheert dat: R = R_zon .

[OOOVincentOOO]

Beetje vreemd. Ik het vorige topic werk ik jouw Eddington formule 41.4 uit (gutenberg.org/ebooks) tot een vergelijkbare vorm als: mathpages. Krijg geen reactie: blijkbaar alleen dankbaar als computer en grafieken jongetje.

Krijg het gevoel of ik poppenkast aan het spelen ben zonder publiek. Het lijkt mij trouwens niet handig te rekenen met alle constanten erin (zoals ik jouw en HansH zie doen). De gepresenteerd grafieken zijn alleen genormaliseerd net zoals de mathpages zodat oppervlakte 4 is. Tevens vind ik het gebruik van de Schwarchild radius erg verwarrend en leid af van de essentie.

Goed dat je gezien hebt dat x en y anders gedefinieerd zijn.

Start (41.4):
$$y=R- \frac{m}{R} \cdot \frac{y^{2}+(2)x^{2}}{\sqrt{y^{2}+x^{2}}}$$

Differentieren en aanname dat y=R voor dichtste nadering:
$$\frac{\partial y}{\partial x}= \frac{m}{R} \cdot \frac{ x \left( 3 R^{2} + 2 x^{2} \right) }{ R \left( R^{2} +x^{2} \right)^{3/2} } +2 $$
Dit is cumulatieve difflectie en is 4 voor x is infty (opp. integraal). Constante 2 toegevoegd anders begint s curve op -2 tot 2. Indien we nogmaal differentieren komen we op vergelijkbare formules als: mathpages en pyhsics stacks:

$$ \Delta c= \frac{m}{R} \cdot \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{ x \left( 3 R^{2} + 2 x^{2} \right) }{ R \left( R^{2} +x^{2} \right)^{3/2} } \right) $$
$$\boxed{ \Delta c= \frac{m}{R} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{3 R^{2}}{\left( x^{2}+R^{2}\right)^{5/2}} dx }$$

Dus zoals ik begrijp en samenvat:

gutenberg.org/ebooks/59248 ofwel Eddington zoals je het nu noemt, piek=1, oppervlakte=4:
$$ \boxed{ \Delta c= m \int_{-\infty}^{\infty} \frac{3 R^{2}}{\left( x^{2}+R^{2}\right)^{5/2}} dx = \dfrac{4m}{R}} $$

Code: Selecteer alles

Wolfram:
plot 3/(x^2+1)^(5/2)
integrate 3/(x^2+1)^(5/2) dx
plot x(2*x^2+3)/((x^2+1)^(3/2))

1911 Formule (zonder GR), piek=1, oppervlakte=2:
$$\boxed{\Delta c=mR \int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{1}{(x^{2}+R^{2})^{3/2}}dx= \dfrac{2m}{R}}$$

Code: Selecteer alles

Wolfram:
plot 1/(x^2+1)^(3/2)
integrate 1/(x^2+1)^(3/2) dx 
plot x/sqrt(x^2+1)

1915 Formule (met GR), piek=2, oppervlakte=4:
$$\boxed{\Delta c=mR \int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{4x^{2}+R^{2}}{(x^{2}+R^{2})^{5/2}}dx= \dfrac{4m}{R}}$$

Code: Selecteer alles

Wolfram:
plot (4*x^2+1)/(x^2+1)^(5/2)
integrate (4*x^2+1)/(x^2+1)^(5/2) dx 
plot (2*x^3+x)/(x^2+1)^(3/2)

Physics Stacks, piek=1, oppervlakte=4 (omzetten polair naar Cartesisch coordinaten moet nog gechecked worden):
$$\boxed{\Delta c = m \int_{-\infty}^{\infty}\frac{|x| \left(R^{-3}- \left(R^{2}+x^{2}\right)^{-3/2} \right)}{\left( R^{2}+x^{2} \right)^{3/2}\left(R^{-2}-(R^{2}+x^{2})^{-1}\right)^{3/2}} dx= \frac{4m}{R}}$$

Code: Selecteer alles

Wolfram:
plot 2*|x|*(1-(x^2+1)^(-3/2))/((x^2+1)^(3/2)*(1-(x^2+1)^-1)^(3/2))
integrate |x|*(1-(x^2+1)^(-3/2))/((x^2+1)^(3/2)*(1-(x^2+1)^-1)^(3/2)) dx
plot (2x^2-sqrt(x^2+1)+1)/(x*sqrt(x^2+1))

Ik ben zelf verder aan het studeren uit Gravity in a Nutshell. Hier vword de deflectie uitgedrukt als diff. vergelijking. Hoe ik begrijp zijn er dan meerdere oplossing voor het zelfde probleem.

[Professor Puntje]

Laten we voor het gemak met (1') verdergaan, dan vinden we:

\( \frac{\partial^2 y}{\partial x^2} = - \frac{r_s}{2 \mathrm{R}}\cdot \frac{\partial^2}{\partial x^2} \frac{ y^2 + 2x^2}{\sqrt{y^2 + x^2}} \)

WolframAlpha levert:

Code: Selecteer alles

(d(d(((y^2 + 2*x^2)/((x^2 + y^2 )^(1/2) ) )))/(dx))/(dx)

Dus:

\( \frac{\partial^2 y}{\partial x^2} = - \frac{r_s}{2 \mathrm{R}}\cdot \frac{3 y^4}{(x^2 + y^2)^{5/2}} \,\,\,\,\,\,\,\, (3) \)

[Professor Puntje]

@ OOOVincentOOO

Het werd erg verwarrend in het andere topic met jouw aanpak, die van HansH en die van mij door elkaar heen lopend allemaal in één topic. Daarom ben ik hier een eigen topic begonnen. Ik zal nu jouw berekening bekijken.

[Professor Puntje]

Als ik het goed begrijp neem je de formule van Eddington, vul in het rechter lid R voor y in, en neem je dan twee keer de partiële afgeleide naar x. Je berekent dus de momentane hoekverandering ten opzichte van x voor de benadering dat y vrijwel R is. En die laatste benadering gebruikt MathPages inderdaad ook. Maar wat vindt je dan voor dφ/dx?

[ukster]

zucht.. Nog maar een keer..

Ik ben wel benieuwd of jouw finale uitkomst overeen gaat komen met wat in deze korte verhandeling van emeritus professor Masud Chaichian wordt beschreven.

Deflection of light by the Sun.pdf

(202.37 KiB) 66 keer gedownload

[Professor Puntje]

Het zou handig zijn als je aangeeft wat die pdf met het onderzoek van de piek of pieken in de momentane toename van de afbuiging zoals beschreven op MathPages te maken heeft. Mij ontgaat de relevantie, en die relevantie was mij de eerdere keer dat je die pdf plaatste ook al onduidelijk.