"Leaf in a foliation of spacetime", (ruimtelijk) hyperoppervlak en "Cauchy surface"

[flappelap]

Zoals ik het begrijp is een 'leaf' een deelvariëteit bij een foliatie. Als je de bijbel ruimtetijd met een tijdachtige kromme folieert, dan zijn de hyperoppervlakken je 'leaves'. Ik ben de term zelf nog nooit eerder tegengekomen in de context van de algemene relativiteitstheorie.

Voor 'Cauchy-oppervlak' kun je meestal ook gewoon hyperoppervlak lezen; zo wordt het genoemd als je de Einsteinvgl en randcondities op het hypperoppervlak gebruikt om de tijdsontwikkeling van het ene hyperoppervlak naar het andere te berekenen. De Einsteinvgl. bestaan namelijk uit dynamische vgl. en restricties. Om die uit elkaar te pluizen moet je ruimtetijd foliëren in ruimte en tijd.

[Gast]

Dank.

Het is me inmiddels iets duidelijker, de fysische betekenissen, behalve voor lichtachtige hyperoppervlakken.

En Cauchy oppervlak nu ook wel wat, maar als ik dan verder lees over t "Cauchy problem" en "Cauchy Horizon" verdwaal ik helemaal.

[flappelap]

Een analogie:

Stel, je hebt een kogel die je afschiet. Die kogel is onderhevig aan Newtons tweede wet, een tweede orde differentiaalvergelijking. Als je op 1 moment de positie en de snelheid weet, dan kun je met deze tweede wet de verdere tijdsontwikkeling van de kogel doorrekenen. Die informatie vormt de benodigde info om die tijdsontwikkeling door te kunnen rekenen.

De Einsteinvergelijkingen zijn ook differentiaalvergelijkingen, maar dan veel ingewikkelder., want niet-lineair en meerdere gekoppeld. En om de tijdsontwikkeling van de ruimtetijd (=zwaartekracht) door te rekenen, heb je net zo de juiste hoeveelheid informatie nodig. Maar nu niet meer op 1 moment op 1 plaats, maar op 1 moment in een 3-dimensionaal hypperoppervlak. Dat noemen we het "Cauchyprobleem": hebben we genoeg info om met de diff.vgl. de tijdsevolutie van het systeem door te rekenen?

De reden waarom dit zo subtiel is, is het volgende. Bij Newtons 2e wet kun je, wanneer je een oplossing hebt gevonden, je plaats- of tijdcoordinaat, of beide, met een vaste hoeveelheid opschuiven. Of je kunt je plaatscoordinaat over een vaste hoeveelheid roteren. Je oplossing blijft hetzelfde, en is dus niet uniek; je hebt de vrijheid om je coordinaten op een bepaalde manier te kiezen. In de ART heb je veel meer vrijheid: daar heb je namelijk algemene coordinatentransformaties, en die splitsen zich op in ruimtelijke - en tijdstransformaties! Het kan dus zo zijn dat je niet genoeg informatie hebt, maar dat je de overige restricties kunt 'wegtransformeren' door je coordinaten vast te leggen. Dat maakt het "Cauchy-probleem" dus subtiel.

Dat hele begrip "leaf" zou ik verder vergeten, of gewoon lezen als "hyperoppervlak".

[Gast]

Hartelijk dank.

Ik moet even opnieuw lezen over het Cauchy-probleem, want ik had dat maar naast me neergelegd. Maar daar moet ik zo wel uitkomen .. denk ik.

Een "leaf" is idd een hyperoppervlak en wordt in het Nederlands dus kennelijk niet gebruikt voor/in ART. Maar in het Engels duidelijk wel. Ik bedoel vooral die Dale Gray, die weet echt zoveel! Maar wat wil je, na een leven lang carrière als professor/hoogleraar op verschillende gebieden en universiteiten.

Ben wel benieuwd wat jij van zijn boek zou vinden. Daar is voor mij echt, jammer genoeg, geen doorkomen aan.
Evenveel, zo niet meer, tekens en symbolen (waarvan ik sommigen nog nooit ben tegengekomen) en vergelijkingen dan tekst. (Niks voor mij.)

Cauchy Horizon.