Wetenschapsforum

Hallo,

Ik ben momenteel bezig met DV en ik zit nu aan de niet-lineaire GDV. In de cursus staat de EUS voor een 2de-orde, niet lineaire GDV en ik geraak er echt niet aan uit. Ik zit met een paar vragen:

-) Deze zin begrijp ik niet:

Als de functies f, afgeleide naar y van f en afgeleide naar y' van f continu zijn in een open gebied omega van de driedimensionale ruimte, waartoe het punt met coordinaten (x0,y0,y1) behoort, dan bestaat er een open interval omheen x0.

Wat bedoelen ze hier met dat open gebied waar de functies continu zijn?

-) Uit deze stelling kan je dan het bestaansinterval definiëren van de unieke oplossing, hoe doe je dat, want daar begrijp ik ook niets van.

Kwintendr schreef: ↑wo 26 dec 2012, 20:07
Wat bedoelen ze hier met dat open gebied waar de functies continu zijn?

Ik weet niet zeker of ik je vraag goed begrijp, maar gewoon: als je je functies beperkt tot dat gebied omega, dan zijn ze continu op dat gebied. Beantwoordt dit alvast een beetje je eerste vraag?

ik vraag me vooral af waarom dat gebied omega open moet zijn. Daar onder staat dan dat er een open interval bestaat omheen x, is dat dan dat gebied omega?

Tja, om te beginnen: eis je niet dat het open is, moet je al allerlei gevallen beginnen uitsluiten: om te beginnen kan het anders een punt zijn (dat is een gesloten verzameling) en dan zeg je natuurlijk niets. Zo kun je zelfs uitbreiden naar meer dan 1 punt.

En dat open interval is niet omega neen. Omega moet geen interval zijn, alleen open. Maar dat interval zal wel in omega liggen (nog een reden om omega open te willen).

Dus als ik het goed begrijp heb je een interval omega, dat open is, anders kan het een punt zijn en dat is vrij zinloos. Dat gebied rond X0 zit in omega, dus in dat gebied rond X0 is de functie continu.

Mijn 2de vraag is dan hoe je het bestaansinterval van de unieke oplossing kan bepalen. Is dat die omeging rond X0? zoja, hoe bepaal je die dan?

Bedoel je dan in een concrete situatie dat bepalen? Want in de algemene theorie wordt er, bij mijn weten, geen héél concreet interval gegeven? Enkel dat er zo een bestaat.

ik bedoel het natuurlijk in een concrete situatie zoals bv

y' = y^4 met BWP: y(0) = 1

Deze is duidelijk niet lineair en is van de eerste orde.

Heb je hier wat aan? Volgens mij moet dit je wel op weg kunnen helpen...

Oke, ik heb het eens gelezen en ik ben tot nieuwe inzichten gekomen. Mijn vragen zijn grotendeels beantwoord, alleen heb ik hier en daar nog een klein vraagje:

-) Bij het tweede voorbeeld zeggen ze dat dat de afgeleide discontinu is in het punt van het BWP. Waarom lossen ze het dan toch nog op?

-) bij het derde voorbeeld zeggen ze dat Y0=0 ook kan. Dit is door gewoon in te vullen in de DV en te kijken of dit klopt?

Omdat het een relatief eenvoudig probleem is, maar vooral: er is geen unieke oplossing meer. Ze tonen dus aan dat de voorwaarden bij je stelling echt wel nodig zijn.

Ivm het derde voorbeeld: dat lijkt me wel .

achzo, dus bij mijn eerste vraag zit het zo:

Die stelling garrandeerd dat er één unieke oplossing is als er voldaan is aan de voorwaarden. Maar in dat voorbeeld is er niet voldaan aan de voorwaarden dus er is geen unieke oplossing?

Dat is inderdaad waar dat voorbeeld om draait. (Uiteraard is het niet omdat je voorwaarden niet voldaan zijn, dat je DV niet meer zo kunnen/mogen opgelost worden.)

nee, natuurlijk niet, er is dan gewoon geen garantie dat er een unieke oplossing is, ik snap het.

Bedankt!

Prima . Succes nog en graag gedaan!