Pagina 1 van 2
Lagrange
Geplaatst: wo 27 jun 2018, 19:17
door ukster
L bevat de twee parameters Θ en x, en hun afgeleide.
Met de Lagrange vergelijking kunnen twee bewegingsvergelijkingen gevonden worden.
- Lagrange.jpg (24.38 KiB) 1386 keer bekeken
Ik zou dit zelf willen oplossen, maar zie niet hoe of wat!
Iemand een hint?
groet.
Re: Lagrange
Geplaatst: do 28 jun 2018, 08:48
door ukster
correctie!
- Lagrange.jpg (9.22 KiB) 1384 keer bekeken
Re: Lagrange
Geplaatst: do 28 jun 2018, 16:04
door Xilvo
Als ik het goed begrijp heb je geen randvoorwaardes en is Q
i=0
Dan
\(\frac{d}{dt}(\frac{\delta L}{\delta \dot{x}}})=\frac{\delta L}{\delta x}\)
en
\(\frac{d}{dt}(\frac{\delta L}{\delta \dot{\theta}}})=\frac{\delta L}{\delta \theta}\)
Als ik me niet heb vergist levert dat
\((M+m)\ddot{x}-m.l.\dot{\theta}.\ddot{x}.cos(\theta)=0\)
en
\(-m.l.\dot{x}.cos(\theta)+m.l^{2}.\ddot{\theta}=m.l.\dot{\theta}.\dot{x}.sin(\theta)+m.g.l.sin(\theta)\)
Twee gekoppelde differentiaalvergelijkingen die in ieder geval numeriek op te lossen zijn.
Wat is het systeem of vraagstuk waar deze Lagrangiaan over gaat?
Re: Lagrange
Geplaatst: do 28 jun 2018, 16:16
door ukster
Het gaat om dit omgekeerde slinger systeem.
Er zijn verder geen randvoorwaarden.
- Inverted pendulum system.jpg (21.98 KiB) 1384 keer bekeken
dit moet eruit komen!
- Bewegingsvergelijkingen.jpg (17.1 KiB) 1384 keer bekeken
daarbij is dit toegepast ...
- Lagrange toepassing.jpg (57.41 KiB) 1384 keer bekeken
Re: Lagrange
Geplaatst: do 28 jun 2018, 16:35
door ukster
Ik begrijp dit ook niet!
- oplossing.jpg (31.41 KiB) 1384 keer bekeken
Re: Lagrange
Geplaatst: do 28 jun 2018, 17:15
door ukster
de afleiding van L kan ik goed volgen, maar Lagrange is mij een raadsel..
Re: Lagrange
Geplaatst: do 28 jun 2018, 17:16
door Xilvo
Er zijn een aantal zaken die me niet duidelijk zijn of die niet kloppen:
1. In de eerste term van de Lagrange-Euler vgl. moet eerst de afgeleide van L naar de afgeleide van g genomen worden, en dan van dit resultaat dan de afgeleide naar de tijd. Er ontbreekt dan een puntje boven de gi.
2. gi=x geeft de vergelijking voor de x-richting van M en een bijdrage voor de x-positie van m;
gi=θ geeft de tweede bijdrage voor m in de x-richting, plus de beweging van m in de y-richting, plus de term voor de potentiële energie.
3. Is F een aangelegde kracht? Of wordt M bijvoorbeeld oscillerend bewogen (zodat x, x' en x'' bekend zijn en F verder niet bekend hoeft te zijn)?
Re: Lagrange
Geplaatst: do 28 jun 2018, 17:24
door Xilvo
Re: Lagrange
Geplaatst: do 28 jun 2018, 17:26
door ukster
F is de uitgeoefende kracht van een servomotor op het karretje
Er ontbreekt dan een puntje boven de gi.??
ik kan dat niet beoordelen omdat Lagrange voor mij vooralsnog een brug te ver is.
Als ik er zo naar kijk denk ik dat je gelijk hebt.
geldt ook zoiets voor de 2e gi?
De uitkomsten van de genoemde bewegingsvergelijkingen voor dit model zijn geverifieerd en blijken correct..
Re: Lagrange
Geplaatst: do 28 jun 2018, 17:42
door Xilvo
Zonder het puntje boven de eerste g klopt de vergelijking dimensioneel niet; de eerste term heeft dan een s-1 door de d/dt die de tweede term niet heeft.
Re: Lagrange
Geplaatst: do 28 jun 2018, 19:31
door ukster
dit dus?
- Lagrangiaan.jpg (23.65 KiB) 1383 keer bekeken
Re: Lagrange
Geplaatst: do 28 jun 2018, 20:03
door Xilvo
Volgens mij in die trant, al zie ik niet waar de laatste term in de 'F=..' vergelijking vandaan komt, die met θ' 2.
Maar ik zal er later wat beter naar kijken. Wat ik in #3 schreef klopt in ieder geval niet.
Re: Lagrange
Geplaatst: do 28 jun 2018, 23:00
door ukster
toepassen van de productregel en het klopt....
- produktregel.jpg (42.56 KiB) 1383 keer bekeken
Re: Lagrange
Geplaatst: vr 29 jun 2018, 07:37
door Xilvo
Het klopt!
Re: Lagrange
Geplaatst: vr 29 jun 2018, 11:11
door ukster
De Lagrangiaan afbreken in afzonderlijke stukjes en hier en daar de
productregel toepassen werkt het beste ben ik achter gekomen.(je behoudt hiermee het overzicht)
- 2e bewegingsvergelijking.jpg (85.47 KiB) 1383 keer bekeken
Langrange schijnt de voorkeur te hebben boven de oplossingsmethode via de wetten van Newton.
Ik heb dit principe ook nog even toegepast op een eenvoudige wrijvingsloze slinger.
Het is me nu allemaal wel duidelijk en uiteindelijk valt het best mee.
