Optimalisatie
- Berichten: 891
Optimalisatie
Hierbij een ietwat vreemde optimalisatie. Een vierkant ABCD rust op de basislijn. Een tweede gelijkaardig vierkant EFGH rust in het begin tegen ABCD aan op de basislijn. Voor het gemak noemen we de zijden van de vierkanten a. Naast zijde EH richten we een loodlijn TP op. Daarna laten we FGHE kantelen via hoekpunt E over de basis terwijl hoekpunt F tegen vierkant ABCD naar beneden blijft glijden. Door het kantelen gaat de loodlijn in eerste instantie door het kantelen naar links worden geschoven. We trekken een tweede lijnTB genaamd die rust op het kantelende hoekpunt G. De probleemstelling : wat is de maximale hoogte van het lijnstuk TP uitgedrukt in een functie van zijde a.
- Berichten: 891
- Berichten: 891
- Berichten: 891
-
- Berichten: 463
Re: Optimalisatie
TS / BS = GQ / BQ
BQ = a + a*sin(alpha)
GQ = a*cos(alpha) + a*sin(alpha) - a
BS = a*sin(alpha) + a*cos(alpha) + a
Optimaliseer TS als functie van alpha, TP_max = TS_max + a.
- Berichten: 891
- Berichten: 891
Re: Optimalisatie
het resultaat kan uitgewerkt worden naar een al bij al presentabele wortelvorm
-
- Berichten: 463
Re: Optimalisatie
Ik kom uit op:
\(\sin \alpha = \frac{1}{2}(\sqrt{5}-1)\)
\(\cos \alpha =\sqrt{ \frac{1}{2}(\sqrt{5}-1)}\)
\(\text{TS}_{opt} = a \cdot \frac{1}{4} \sqrt{2} \cdot (\sqrt{5}-1)^{2 \frac{1}{2}} \approx 0.60056621200155521577\cdot a\)
dus
\(\text{TP}_{opt} = a \cdot \left( 1 + \frac{1}{4} \sqrt{2} \cdot (\sqrt{5}-1)^{2 \frac{1}{2}}\right) \approx 1.60056621200155521577\cdot a\)
- Berichten: 891
Re: Optimalisatie
dit komt overeen met mijn uitwerking maar ik had het eerder bekeken vanuit de hoek die tb maakt met zijde vierkant cb wat zelfde resultaat oplevert uiteraard. In feite is dit een sangaku probleem dat in een tempel hangt in Japan echter zonder oplossing gezien die mensen calcalus nog niet beheersten. Ik heb echter iets heel speciaals gevonden in de constructie waarvan in mijn documentatie geen sprake is, misschien heeft niemand het ooit opgemerkt, wat denk je dat het is ?RedCat schreef: ↑di 21 jan 2020, 18:34 Ik kom uit op:\(\sin \alpha = \frac{1}{2}(\sqrt{5}-1)\)\(\cos \alpha =\sqrt{ \frac{1}{2}(\sqrt{5}-1)}\)\(\text{TS}_{opt} = a \cdot \frac{1}{4} \sqrt{2} \cdot (\sqrt{5}-1)^{2 \frac{1}{2}} \approx 0.60056621200155521577\cdot a\)dus\(\text{TP}_{opt} = a \cdot \left( 1 + \frac{1}{4} \sqrt{2} \cdot (\sqrt{5}-1)^{2 \frac{1}{2}}\right) \approx 1.60056621200155521577\cdot a\)
- Berichten: 891
Re: Optimalisatie
ik kwam uit op wortel((wortel(5)*10)-22)+1 te vermenigvudigen met aRedCat schreef: ↑di 21 jan 2020, 18:34 Ik kom uit op:\(\sin \alpha = \frac{1}{2}(\sqrt{5}-1)\)\(\cos \alpha =\sqrt{ \frac{1}{2}(\sqrt{5}-1)}\)\(\text{TS}_{opt} = a \cdot \frac{1}{4} \sqrt{2} \cdot (\sqrt{5}-1)^{2 \frac{1}{2}} \approx 0.60056621200155521577\cdot a\)dus\(\text{TP}_{opt} = a \cdot \left( 1 + \frac{1}{4} \sqrt{2} \cdot (\sqrt{5}-1)^{2 \frac{1}{2}}\right) \approx 1.60056621200155521577\cdot a\)
-
- Berichten: 463
Re: Optimalisatie
Jouw vorm is netter:
(https://nl.wikipedia.org/wiki/Gulden_snede)
Hier is
\(\frac{1}{4}\sqrt{2}\cdot (\sqrt{5}-1)^{2\frac{1}{2}}\)
\(= \frac{1}{4}\sqrt{2}\cdot \sqrt{(\sqrt{5}-1)^5}\)
\(= \frac{1}{4}\sqrt{2}\cdot \sqrt{25\sqrt{5}-125+50\sqrt{5}-50+5\sqrt{5}-1}\)
\(= \frac{1}{4}\sqrt{2}\cdot \sqrt{80\sqrt{5}-176}\)
\(= \sqrt{2}\cdot \sqrt{5\sqrt{5}-11}\)
\(= \sqrt{10\sqrt{5}-22}\)
Heeft het te maken met de gulden snede?Ik heb echter iets heel speciaals gevonden in de constructie
(https://nl.wikipedia.org/wiki/Gulden_snede)
Hier is
\(\sin \alpha = \frac{1}{\varphi} = -\varphi_- = \frac{\sqrt{5}-1}{2}\)
- Berichten: 891
Re: Optimalisatie
Die 1.60 ligt ook al aardig in de buurt van de gulden snede maar de juiste verhouding is terug te vinden in de verdeling van de zijde cd door het hoekpunt F bij optimalisatie. Vreemd maar het klopt.RedCat schreef: ↑di 21 jan 2020, 21:10 Jouw vorm is netter:
\(\frac{1}{4}\sqrt{2}\cdot (\sqrt{5}-1)^{2\frac{1}{2}}\)\(= \frac{1}{4}\sqrt{2}\cdot \sqrt{(\sqrt{5}-1)^5}\)\(= \frac{1}{4}\sqrt{2}\cdot \sqrt{25\sqrt{5}-125+50\sqrt{5}-50+5\sqrt{5}-1}\)\(= \frac{1}{4}\sqrt{2}\cdot \sqrt{80\sqrt{5}-176}\)\(= \sqrt{2}\cdot \sqrt{5\sqrt{5}-11}\)\(= \sqrt{10\sqrt{5}-22}\)
Heeft het te maken met de gulden snede?Ik heb echter iets heel speciaals gevonden in de constructie
(https://nl.wikipedia.org/wiki/Gulden_snede)
Hier is\(\sin \alpha = \frac{1}{\varphi} = -\varphi_- = \frac{\sqrt{5}-1}{2}\)