- local min max.png (12.75 KiB) 972 keer bekeken
minimize
- Moderator
- Berichten: 9.986
- Berichten: 4.546
Re: minimize
Wat ik vreemd vind aan deze plot is de daling van de oppervlakte voor θ>π/2
Dat moet er toch weer net zo uitzien als voor π/2 ?
Is het misschien zo dat het definitiegebied van mijn oppervlaktefunctie loopt van 0° tot 90°
Dat moet er toch weer net zo uitzien als voor π/2 ?
Is het misschien zo dat het definitiegebied van mijn oppervlaktefunctie loopt van 0° tot 90°
Laatst gewijzigd door ukster op di 28 jul 2020, 20:32, 2 keer totaal gewijzigd.
- Moderator
- Berichten: 9.986
- Berichten: 4.546
Re: minimize
Zie uitwerking Bart 23!
Hij komt in slechts 3 stappen tot te formule voor het totaal oppervlak A van het grijze gebied gedefinieerd voor 0≤θ≤π/2 Minimum oppervlak voor θ=π/3
Lokaal maximum voor θ=π/2
Hij komt in slechts 3 stappen tot te formule voor het totaal oppervlak A van het grijze gebied gedefinieerd voor 0≤θ≤π/2 Minimum oppervlak voor θ=π/3
Lokaal maximum voor θ=π/2
-
- Berichten: 7.068
Re: minimize
Om dit probleem op te lossen volstaat het om naar een kwart van een cirkel te kijken (want symmetrie). Daarbij definieer ik voor het gemak de hoek phi als de hoek ten opzicht van de verticale as. De straal neem ik voor het gemak aan als 1 (maakt namelijk toch niet uit).
Voor het oppervlak van een cirkelsegment met hoek phi geldt:
\(CS = \frac{\phi}{2 \pi} \cdot \pi \cdot 1^2 = \frac{\phi}{2}\)
Voor het oppervlak van de driehoek met hoek phi in dit segment geldt:
\(DiCS = \cos(\phi) \cdot \sin(\phi)\)
Het oppervlak van het stuk in dit segment boven het raakpunt is dus:
\(BCS = CS - DiCS = \frac{\phi}{2} - \cos(\phi) \cdot \sin(\phi)\)
Het resterende oppervlak van de kwart cirkel is dan:
\(RKC = \frac{\pi}{4} - BCS = \frac{\pi}{4} - \frac{\phi}{2} + \cos(\phi) \cdot \sin(\phi)\)
Het oppervlak van de rechthoek door het raakpunt is:
\(RH = \cos(\phi)\)
Het deel daarvan dat buiten de kwart cirkel valt is:
\(B = RH - RKC = \cos(\phi) - \frac{\pi}{4} + \frac{\phi}{2} - \cos(\phi) \cdot \sin(\phi)\)
Het totale oppervlak is dit deel plus het deel binnen de cirkel:
\(T = B + BCS = \cos(\phi) - \frac{\pi}{4} + \frac{\phi}{2} - \cos(\phi) \cdot \sin(\phi) + \frac{\phi}{2} - \cos(\phi) \cdot \sin(\phi)\)
\(= \cos(\phi) - \frac{\pi}{4} + \phi - 2 \cos(\phi) \cdot \sin(\phi) = \cos(\phi) - \frac{\pi}{4} + \phi - \sin(2 \phi)\)
De afgeleide hiervan naar phi is:
\(-\sin(\phi) + 1 - 2 \cos(2 \phi)\)
Er geldt:
\(\cos(2 x) = 1 – 2 \sin^2(x)\)
dus:
\(-\sin(\phi) - 1 + 4 \sin^2(\phi)\)
Gelijkstellen aan nul:
\(4 \sin^2(\phi) -\sin(\phi) - 1 = 0\)
Substitueer sin:
\(4 z^2 - z - 1 = 0\)
abc-formule:
\(z = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{8}\)
ofwel:
\(\sin(\phi) = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{8}\)
\(\phi = \arcsin(\frac{1 \pm \sqrt{17}}{8})\)
Voor theta geldt dan dus:
\(\theta = \frac{\pi}{2} - \arcsin(\frac{1 \pm \sqrt{17}}{8})\)
- Berichten: 4.546
Re: minimize
deze 'losse fragmenten' methode heb ik ook min of meer op het geheel toegepast om de oppervlakte te bepalen met 60°als resultaat. Als ik het goed begrijp moet dit in jouw voorstelling 30°opleveren ,maar dat is volgens mij niet de uitkomst van je laatste formule!
-
- Berichten: 7.068
Re: minimize
Ik heb mijn fout al gevonden. De formule voor de driehoek in het cirkelsegment moet zijn:
\(DiCS = \frac{1}{2} \cdot \cos(\phi) \cdot \sin(\phi)\)
- Berichten: 4.546
Re: minimize
Ik heb het helemaal doorgelopen en het klopt inderdaad.
uitkomst θ=π/6 rad
uitkomst θ=π/6 rad