omtrek
-
- Berichten: 464
Re: omtrek
Ja.
Als ggd(a,b,c) = d > 1, dan kan je de lengte van elke zijde door d delen, waardoor ook de omtrek een factor d kleiner wordt.
De hoeken blijven bij deze deling ongewijzigd.
Als ggd(a,b,c) = d > 1, dan kan je de lengte van elke zijde door d delen, waardoor ook de omtrek een factor d kleiner wordt.
De hoeken blijven bij deze deling ongewijzigd.
- Berichten: 4.320
Re: omtrek
Ik heb een doodlopend spoor bewandeld.
Ik heb c=1 genomen.
Een geëist dat b en c echte positieve breuken zijn.
Trekt men de hoogtelijn dan volgt uit de driehoeksongelijkheid dat hoe kleiner de hoogtelijn hoe kleiner de omtrek.
Hiervoor is nodig dat de sinussen van de hoeken ook rationeel zijn.
Het lukte me echter niet hier een kleinste waarde voor te vinden.
Ik heb c=1 genomen.
Een geëist dat b en c echte positieve breuken zijn.
Trekt men de hoogtelijn dan volgt uit de driehoeksongelijkheid dat hoe kleiner de hoogtelijn hoe kleiner de omtrek.
Hiervoor is nodig dat de sinussen van de hoeken ook rationeel zijn.
Het lukte me echter niet hier een kleinste waarde voor te vinden.
- Berichten: 4.320
Re: omtrek
Dat weet ik.
Maar ik wilde daarna de zaak opblazen met een factor om daar aan te voldoen.
Maar ik wilde daarna de zaak opblazen met een factor om daar aan te voldoen.
- Berichten: 4.585
Re: omtrek
Aha..
Voortbouwend op a2=b(b+c) , a=2bcosβ , 0<β<π/6 en ggd(a,b,c,)=1 kan gesteld worden dat ook ggd(b,c)=1 omdat een gemeenschappelijke factor in b en c ook de gemeenschappelijke factor is van a.
Het vierkant a2 wordt uitgedrukt als een product van twee priem integers b en c
a2=b(b+c), derhalve moeten b en (b+c) ook vierkanten zijn.
Twee integers m en n met ggd(m,n)=1 hierop toegepast: hieruit volgt: b=m2, b+c=n2, a=mn
De minimale omtrek van de driehoek kan nu bepaald worden.
Voortbouwend op a2=b(b+c) , a=2bcosβ , 0<β<π/6 en ggd(a,b,c,)=1 kan gesteld worden dat ook ggd(b,c)=1 omdat een gemeenschappelijke factor in b en c ook de gemeenschappelijke factor is van a.
Het vierkant a2 wordt uitgedrukt als een product van twee priem integers b en c
a2=b(b+c), derhalve moeten b en (b+c) ook vierkanten zijn.
Twee integers m en n met ggd(m,n)=1 hierop toegepast: hieruit volgt: b=m2, b+c=n2, a=mn
De minimale omtrek van de driehoek kan nu bepaald worden.
- Berichten: 4.585
Re: omtrek
Hieruit volgt: b=16 a=28 c=33
Minimale omtrek: a+b+c = 77
- Berichten: 4.585
Re: omtrek
Gegeven de twee punten A(−2,0) en B(1,5)
Wat zijn de coördinaten van punt P op de lijn x-2y=6 zodat de omtrek van driehoek ABP minimaal is.
P(26/23,-56/23)??
Wat zijn de coördinaten van punt P op de lijn x-2y=6 zodat de omtrek van driehoek ABP minimaal is.
P(26/23,-56/23)??
-
- Berichten: 464
Re: omtrek
Kom ik ook op uit: stel
Dit levert
\(P = (2\lambda + 6, \lambda)\)
en minimaliseer daarmee (|AP| + |BP|) door de afgeleide hiervan naar lambda nul te stellen.Dit levert
\(805\lambda^2+6560\lambda+11200 = 0\)
\(\Rightarrow \lambda = \frac{-56}{23}\)
(de tweede oplossing vervalt: dat is een valse oplossing door kwadrateren onderweg).-
- Berichten: 464
Re: omtrek
Meetkundige oplossing:
A = (-2, 0)
B = (1, 5)
l: y = (1/2)*x - 3
definieer A' = spiegelbeeld van A in lijn l:
- loodlijn op l door A: m: y = -2x - 4
- beeldpunt van A: A' = (6/5, -32/5)
noem k = de lijn door A' en B:
k: y = -57x + 62
Dan is P het snijpunt van lijnen l en k:
P = (26/23, -56/23)
A = (-2, 0)
B = (1, 5)
l: y = (1/2)*x - 3
definieer A' = spiegelbeeld van A in lijn l:
- loodlijn op l door A: m: y = -2x - 4
- beeldpunt van A: A' = (6/5, -32/5)
noem k = de lijn door A' en B:
k: y = -57x + 62
Dan is P het snijpunt van lijnen l en k:
P = (26/23, -56/23)
- Berichten: 4.585
Re: omtrek
Een (nogal bewerkelijke) meetkundige oplossing op basis van de evenwijdige lijnen k: en l:
lijn m: en de normaallijn n:
attachment=0]meetkundige oplossing minimale omtrek.png[/attachment]
lijn m: en de normaallijn n:
attachment=0]meetkundige oplossing minimale omtrek.png[/attachment]