Faseplaatje stelsel niet-linear DV'en

[apie030]

Hai,

Bij het oplossen van een stelsel DV'en lukt het mij om de karakteristieke punten te berekenen en hun aard (mbv de Jacobiaan). Ook de nullclines kan ik tekenen. Echter, ik weet vervolgens niet goed hoe ik het faseplaatje moet tekenen. Van eenvoudige stelsels lukt mij dit, maar bij onderstaand voorbeeld niet. Kan iemand mij helpen hoe ik hierbij het faseplaatje (alleen van het eerste kwadrant) moet tekenen?

\frac{dx}{dt} = 5 - xy - x - y
\frac{dy}{dt} = xy - y

Voor de karakteristieke punten geldt: \frac{dx}{dt} = \frac{dy}{dt} = 0
Dus de punten zijn (5,0) en (1,2).

De Jacobiaan:
\begin{pmatrix} -y-1 & -x-1 \\ y & x-1 \end{pmatrix}

Invullen van de punten levert op dat (5,0) een instabiele knoop is en (1,2) een stabiele knoop.

Voor de nullclines geldt:
\frac{dx}{dt} = 0
\frac{dy}{dt} = 0

Dus de nullclines zijn:
y=0, x=1, xy+x+y=5

Nu weet ik dus niet hoe ik het faseplaatje (alleen van het eerste kwadrant) moet tekenen. Kan iemand helpen?

[CoenCo]

\( \frac{dy}{dx}
= \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}
= \frac{xy-y}{ 5 - xy - x - y} \)

En dan invullen voor een aantal punten.

[ukster]

Maple maakt er dit van!

phaseportrait.png (38.03 KiB) 973 keer bekeken